Exercícios Resolvidos de Formas Bilineares

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Enunciado

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) , v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = - x 1 y 1 + x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 + 4 x 2 y 2 Determine a matriz de f em relação à base B = { 1,2 , - 2,1 } e depois em relação à C = { 3,2 , 2 , - 3 } e mostre diretamente que as duas matrizes são congruentes

Passo 1

A ideia agora é montar a matriz de f em relação a bases diferentes da canônica. Pra isso vamos usar a fórmula que vimos lá na teoria f B , C = I d C a n ← B T f C a n , C a n I d C a n ← C

Então, primeiro vamos achar a matriz na base canônica e depois usar as matrizes de mudança de base para achar as duas matrizes f B , B e f C , C .

Então temos que mostrar que f B , B e f C , C   são congruentes, isto é que existe uma matriz M tal que:

f B , B = M T f C , C M

Passo 2

A essa altura a matriz na base canônica é bem direta de se achar né. Mas detalhando o procedimento fica assim:

  • f 1,0 , 1,0 = - 1
  • f 1,0 , 0,1 = 1
  • f 0,1 , 1,0 = 2
  • f 0,1 , 0,1 = 4

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = - 1 1 2 4

Passo 3

Agora achamos a matriz de mudança de base I d C a n ← B . Lembrando que é só colocar os vetores de B na vertical ela fica assim:

I d C a n ← B = 1 - 2 2 1

Ainda:

I d C a n ← B T =       1 2 - 2 1

Jogando na fórmula vai ficar:

f B , B =       1 2 - 2 1 - 1 1 2 4 1 - 2 2 1 =     3 0 4 5 1 - 2 2 1

f B , B =     3 - 6 14 - 3

Passo 4

Agora achamos a matriz de mudança de base I d C a n ← C . Lembrando que é só colocar os vetores de C na vertical ela fica assim:

I d C a n ← C = 3 2 2 - 3

Ainda:

I d C a n ← C T =   3 2 2 - 3

Jogando na fórmula vai ficar:

f C , C =   3 2 2 - 3 - 1 1 2 4 3 2 2 - 3 =     1 11 - 8 - 10 3 2 2 - 3

f C , C = 25 - 31 - 44 14

- ''

Passo 5

-

Como vamos agora achar uma matriz M   que resolva nosso problema??

Vamos dar uma olhada na fórmula de mudança de base:

f B , C = I d C a n ← B T f C a n , C a n I d C a n ← C

Dando uma mudada de leve a gente pode deixar assim (lembrem-se de como chegamos nela pra sacar que podemos fazer isso):

f B , B = I d C ← B T f C , C I d C ← B

Então a matriz M que procuramos é I d C ← B !!

Pra chegarmos nela vamos lembrar que:

I d C ← B = I d C ← C a n I d C a n ← B

É só seguir as setinhas entre as bases da direita para a esquerda.

Ainda:

I d C ← C a n = I d C ← C a n - 1 = 3 2 2 - 3 - 1

I d C ← C a n = 1 det ⁡ ( I d C ← C a n ) - 3 - 2 - 2 3 = 1 13 3 2 2 - 3

Logo:

I d C ← B = 1 13 3 2 2 - 3 1 - 2 2 1 = 1 13 7 - 4 - 4 7

Vemos então o que dá:

I d C ← B T f C , C I d C ← B

Isso dá:

1 169 7 - 4 - 4 7 25 - 31 - 44 14 7 - 4 - 4 7 =     3 - 6 14 - 3

O que é justamente f B , B .

Ufa!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)