Exercícios Resolvidos de Formas Bilineares

Elaboração própria

Verifique se todo produto interno   , sobre um espaço vetorial V é uma forma bilinear   ,   : V × V R

Passo 1

A ideia aqui é verificar se todo produto interno é uma forma bilinear, precisamos então checar se toda função que obedece aos axiomas de produto interno também obedece aos axiomas de forma bilinear. Caso a resposta sim, a resposta é também positiva.

Assim, queremos sair de:

1.1   u , v =   v , u

1.2   λ u , v = λ   u , v

1.3   u + w , v =   u , v +   w , v

1.4   u , u > 0 , se u 0

1.5   u , u = 0 u = 0

Para chegar em:

2.1 f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )

2.2 f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f u , v 2

2.3 f λ u , v = λ f ( u , v )

2.4 f u , λ v = λ f ( u , v )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Metade do trabalho já está feita. As propriedades 2.1 e 2.3 saem diretamente de 1.2 e 1.3. Para chegarmos em 2.2 e 2.4 usamos as mesmas equações “dadas” mas agora utilizando a simetria 1.1.

1.1   u , v + w = v + w , u

1.3   v + w , u = v , u + w , u

1.1   v , u + w , u = u , v + u , w

Logo:

u , v + w = u , v + u , w

O que equivale a 2.2.

Para chegarmos em 2.4, usamos a mesma estratégia:

1.1   u , λ v = λ v , u

1.2   λ v , u = λ v , u

1.1   λ v , u = λ u , v

Assim:

u , λ v = λ u , v

Que equivale a 2.4.

Assim concluímos que todo produto interno é uma forma bilinear.

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