Exercícios Resolvidos de Funções Definidas Implicitamente

Passo 1

Equações que definem funções implicitamente são representadas na forma

F X , Y = 0

Queremos determinar y e z como funções de x , então

X = x

Y = ( y , z )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos então jogar tudo para um lado só nessas equações:

x 2 + z 2 - 25 = 0

y 2 + z 2 - 20 = 0

Assim, temos

F X , Y = x 2 + z 2 - 25 , y 2 + z 2 - 20 = ( 0,0 )

F x , y , z = x 2 + z 2 - 25 , y 2 + z 2 - 20 = ( 0,0 )

Beleza? Só substitui!

Passo 3

Agora, se a gente olhar a primeira equação, vemos que dá pra isolar z o e já acha-lo como uma função de x :

z = ± 25 - x 2

E substituindo isso na segunda equação, podemos achar y em função de x :

y 2 + ± 25 - x 2 2 - 20 = 0

y 2 + 25 - x 2 - 20 = 0

y = ± x 2 - 5

Passo 4

Beleza, e além disso, a gente sabe que

y 3 = - 2

z 3 = 4

Substituindo nas equações que a gente encontrou:

y 3 = ± 3 2 - 5 = ± 4

Para isso dar - 2 , temos que ter então nosso

y x = - x 2 - 5

Fazendo a mesma coisa para a equação de z :

z 3 = ± 25 - 3 2 = ± 16

E para isso dar 4 , precisamos que nosso

z x = + 25 - x 2

Passo 5

Agora precisamos definir o intervalo que essas funções estão definidas.

Só recapitulando, nossas funções são

y x = - x 2 - 5

z x = 25 - x 2

O intervalo em que elas estão definidas vai ser a interseção dos domínios dessas duas funções. Assim

x 2 - 5 ≥ 0 ⇒ x = ± 5

25 - x 2 ≥ 0 ⇒ x = ± 5

Mas, como nosso intervalo tem que ser aberto e conter o ponto x = 3 , temos que

5 ≤ x ≤ 5

É o maior intervalo aberto possível, contendo x = 3 em que essas funções estão bem definidas.

Resposta

y x = - x 2 - 5

z x = 25 - x 2

5 ≤ x ≤ 5

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