Exercícios Resolvidos de Funções Definidas Implicitamente

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.320. questão 3a.

Verifique que a curva C obtida como interseção das superfícies

x 2 + y 2 + z 2 = 4

E

x 2 + y 2 = 2 y

Pode ser parametrizada no parâmetro z numa vizinhança do ponto ( 1,1 , 2 ) .

Passo 1

O que ele quer saber é se a equação da curva C define x e y como funções de z na vizinhança do ponto ( 1,1 , 2 ) .

Temos então que achar a equação da curva de interseção, que será nossa equação F X , Y e verificar se, ao substituir esse ponto, dá zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a curva C .

Como ela é interseção das duas superfícies, tem que satisfazer ambas as equações.

Vamos então isolar o x ² na segunda equação

x 2 = 2 y - y ²

E agora substituir na primeira equação

2 y - y 2 + y 2 + z 2 = 4

2 y + z 2 = 4

Essa é nossa curva de interseção C

Passo 3

Ela define nossa equação F ( X , Y ) , então, vamos jogar tudo pra um lado só pra termos aquele formato de “ e q u a ç ã o = 0

F X , Y = 2 y + z 2 - 4

Passo 4

-

Agora vamos substituir o ponto ( 1,1 , 2 ) e vê se da zero:

2.1 + 2 2 - 4 = 2 + 2 - 4 = 0

Logo, a curva C pode ser parametrizada no parâmetro z numa vizinhança do ponto ( 1,1 , 2 ) .

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