Exercícios Resolvidos de Funções Definidas Implicitamente

UFF, Cálculo 2B, Parte 14, exemplo 14.2.1

Determine y e z como funções de x implícitas nas equações abaixo:

x + y + z = 1

2 x + z = 2

Passo 1

Equações que definem funções implicitamente são representadas na forma

F X , Y = 0

Queremos determinar y e z como funções de x , então

X = x

Y = ( y , z )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos então jogar tudo para um lado só nessas equações:

x + y + z - 1 = 0

2 x + z - 2 = 0

Assim, temos

F X , Y = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2 = ( 0,0 )

F x , y , z = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2 = ( 0,0 )

Beleza? Só substitui!

Passo 3

Agora, se a gente olhar a segunda equação, vemos que dá pra isolar o e já acha-lo como uma função de x :

z = 2 - 2 x

E substituindo isso na primeira equação, podemos achar y em função de x :

x + y + 2 - 2 x = 1

y = 1 - 2 - x + 2 x

y = x - 1

Passo 4

Beleza, mas a gente não tem certeza se essas funções estão de fato definidas implicitamente naquelas equações, então, pra ter certeza, vamos substituí-las na expressão de F ( X , Y ) e vê se da zero:

F x , y , z = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2

F x , y , z = x + x - 1 + 2 - 2 x - 1,2 x + 2 - 2 x - 2 = ( 0,0 )

Otimo, deu certo, então

z = z x = 2 - 2 x

y = y x = x - 1

Resposta

z = z x = 2 - 2 x

y = y x = x - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas