Exercícios Resolvidos de Funções Definidas Implicitamente

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.314. questão 4.

Considere a equação

x - 2 3 y + x e y - 1 = 0

  1. Esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 1,1 ) ?
  2. E numa vizinhança do ponto ( 0,0 ) ?
  3. E numa vizinhança do ponto ( 2,1 ) ?

Passo 1

Pra verificar se essa equação define y implicitamente como função de x numa vizinhança de um ponto, temos que ver se ao substituir o ponto em f x , y , dá zero.

Temos:

f x , y = x - 2 3 y + x e y - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a )

Substituindo:

f 1,1 = 1 - 2 3 1 + 1 e 1 - 1 = - 1 3 + 1 = - 1 + 1 = 0

Logo esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 1,1 ) .

Passo 3

b )

Substituindo:

f 0,0 = 0 - 2 3 0 + 0 e 0 - 1 = 0 + 0 = 0

Logo esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 0,0 ) .

Passo 4

c )

Substituindo:

f 2,1 = 2 - 2 3 1 + 2 e 1 - 1 = 0 + 2 = 2 0

Logo esta equação não define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 2,1 ) .

Resposta

  1. Esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 1,1 ) .
  2. Esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 0,0 ) .
  3. Esta equação não define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 2,1 ) .

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