Exercícios Resolvidos de Geometria - Perímetro, Área e Volume

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Enunciado

Considere um cubo cuja aresta vale 2 a e uma esfera interna ao cubo, e que tangencia as faces desse cubo.

Determine o volume interno do cubo que é externo à esfera.

Passo 1

Repara que o que ele quer é o volume interno do cubo e externo à esfera. Isso nada mais é que o volume do cubo, menos o volume da esfera. Vai ser a parte entre a esfera e o cubo.

Vamos chamar de V esse volume, então:

V = V c u b o - V e s f e r a

Passo 2

Vamos começar achando o volume do cubo. Para isso, é só pegar a aresta do cubo e elevá-la a 3 . Então

V c u b o = 2 a 3 = 8 a 3

Passo 3

Agora precisamos do volume da esfera. Para isso, vamos usar a fórmula do volume da esfera.

V e s f e r a = 4 π R 3 3

Opa, mas precisamos do raio da esfera. E agora? Ele deu uma relação entre a esfera e o cubo. A esfera é interna ao cubo, e tangencia as duas faces. Vamos ver uma figura disso.

Repara que a altura do cubo, é igual ao diâmetro da esfera. Assim, vamos ter

2 R = 2 a

R = a

E agora temos o raio em função daquele a que ele deu no início.

Voltando para o volume da esfera, temos

V e s f e r a = 4 π a 3 3

Passo 4

Agora que achamos o volume do cubo e da esfera, podemos achar o volume que ele pediu.

Vamos ter

V = V c u b o - V e s f e r a

V = 8 a 3 - 4 π a 3 3

Aqui não temos muito o que fazer. Vamos deixar assim mesmo, e essa é nossa resposta

Resposta

V = 8 a 3 - 4 π a 3 3