Exercícios Resolvidos de Geometria - Perímetro, Área e Volume

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Enunciado

Considere uma folha de papel cujo perímetro é 45 c m   e um dos lados é o dobro do outro. A partir da união de duas arestas dessa folha se forma um cilindro. Determine o volume do cilindro com a maior área de base.

Passo 1

Temos uma folha de papel, vamos fazer o seu desenho

Não sabemos nem o a base nem a altura desse retângulo, mas ele disse que um dos lados é o dobro do outro. Assim, vamos ter

Além disso, conseguimos achar esse h tranquilamente. Ele disse que o perímetro é 45   c m .

Assim

2 h + h + 2 h + h = 45

6 h = 45

h = 45 6 = 7,5   c m

Passo 2

Para fazer o cilindro, temos que “enrolar” essa folha. O detalhe é em qual direção vamos enrolar essa folha. Repara que vamos ter

Eu desenhei ali as duas direções que eu posso rodar. Essa direção vai definir quem é a altura.

Ele quer o volume de um desses cilindros, mas qual?

Repara que ele falou o que tem maior área da base, então precisamos ver qual a área de cada uma dessas bases.

Passo 3

As duas bases são círculos. Para saber qual maior área, basta pegar a que tiver maior raio.

Então basta achar o raio da base de cada um desse cilindros.

Vamos começar com o seguinte cilindro

Repara que a altura se manteve como o comprimento da folha, enquanto o comprimento da base do cilindro vai ser igual à altura da folha.

Vamos chamar de R 1 o raio da base desse cilindro.

Assim, vamos ter

2 π R 1 = h

R 1 = h 2 π

Trocando o valor de h que achamos no passo 1

R 1 = 7,5 2 π

Passo 4

Vamos agora para o outro cilindro

Repara que a altura se manteve como a altura da folha, enquanto o comprimento da base do cilindro vai ser igual ao comprimento da folha.

Vamos chamar de R 2 o raio da base desse cilindro.

Assim, vamos ter

2 π R 2 = 2 h

R 2 = 2 h 2 π

Trocando o valor de h que achamos no passo 1

R 2 = 15 2 π

Repara que esse raio, vai ser maior que o outro. Isso porque 15 / 2 π é maior que 7,5 / 2 π

Passo 5

Vamos ao volume desse segundo cilindro então.

Ele vai ser

V = π R 2 2 h

Trocando o valor do raio e de h , vamos ter

V = π 15 2 π 2 ∙ 7,5

V = π 225 4 π 2 ∙ 7,5

V = 1687,5 4 π

V = 1687,5 4 π   c m 3

Resposta

V = 1687,5 4 π   c m 3