Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

USP - Cálculo 4 - P2 2013 – 3

a)Calcule a série de Fourier da Função f x 0 , - π < x 0 - x 0 x < π

b)Sabendo que k = 1 1 k 2 = π 2 6 e usando o item anterior, calcule k = 1 1 2 k - 1 4

Passo 1

a)Show, já temos a função definida de ] - π , π [ , se você olha pra cara dela, já da pra ver que não é par nem ímpar, então vamos ter que ter que determinar todas as constantes, ok?!

Partiu:

a 0 = 1 π - π π f x d x = 1 π 0 π - x d x = - 1 π x 2 2 0 π = - π 2

Próximo coeficiente:

a k = 1 π - π π f x cos ( n x ) d x = - 1 π 0 π x cos ( n x ) d x

Essa integral você resolve com integração por partes:

u = x d u = d x d v = cos ( k x ) d x   v = sen k x k

a k = - 1 π x sen k x k 0 π - 0 π sen k x k d x = - cos π x - 1 k 2 π

Mas cos π x = - 1 k

a k = 1 - - 1 k k 2 π

E por último:

b k = 1 π - π π f x sen ( n x ) d x = - 1 π 0 π x sen ( n x ) d x

Assim como a outra, vamos fazer uma integração por partes, é o mesmo raciocínio:

u = x d u = d x

d v = sen ( k x ) d x   v = - cos k x k

Então fica:

b k = - 1 π - x cos k x k 0 π + 0 π cos k x k d x = cos π x k = - 1 k k

S x = - π 4 + k = 1 1 - - 1 k k 2 π cos k x   + k = 1 - 1 k k sen ( k x )  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)Vamos usar a identidade de Parseval para resolver esse paranauê

a 0 2 2 + k = 1 ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π - π π f x 2 d x

Ele falou pra usar o item anterio, então né, vamos usar o que achamos na letra a)

Mas antes vamos analisar um cara:

a k = 1 - - 1 k k 2 π

Ok, vamos pensar diferente, beleza? Se k = p a r , então esse cara da 0 , se ele for ímpar, então vai dar 2 k 2 π , mas isso é só pra k ímpar, uma forma de expressar isso é:

a k = 2 ( 2 k - 1 ) 2 π

Agora k pode ter qualquer valor, o resultado dentro do parênteses representa esse novo k e sempre dará ímpar para todo k , sacou? Agora podemos usar o somatório normal.

Bem, era mais isso, vamos voltar pra identidade de Parseval e substituir os valores:

π 2 8 + 4 π k = 1 1 2 k - 1 4 + k = 1 1 k 2 = 1 π 0 π x 2 d x = π 2 3

Mas opa, já sabemos que k = 1 1 k 2 = π 2 6 , então:

π 2 8 + 4 π k = 1 1 2 k - 1 4 + π 2 6 = π 2 3

Colocando o somatório em evidência

k = 1 1 2 k - 1 4 = π 4 96

Resposta

a ) S x = - π 4 + k = 1 1 - - 1 k k 2 π cos k x   + k = 1 - 1 k k sen ( k x )  

b ) k = 1 1 2 k - 1 4 = π 4 96

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas