Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Enunciado

a)Calcule a série de Fourier da Função f x 0 , - π < x ≤ 0 - x 0 ≤ x < π

b)Sabendo que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 e usando o item anterior, calcule ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4

Passo 1

a)Show, já temos a função definida de ] - π , π [ , se você olha pra cara dela, já da pra ver que não é par nem ímpar, então vamos ter que ter que determinar todas as constantes, ok?!

Partiu:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x = 1 π ∫ 0 π - x d x = - 1 π x 2 2 0 π = - π 2

Próximo coeficiente:

a k = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ ( n x ) d x = - 1 π ∫ 0 π x cos ⁡ ( n x ) d x

Essa integral você resolve com integração por partes:

u = x → d u = d x d v = cos ⁡ ( k x ) d x →   v = sen ⁡ k x k

a k = - 1 π x sen ⁡ k x k 0 π - ∫ 0 π sen ⁡ k x k d x = - cos ⁡ π x - 1 k 2 π

Mas cos ⁡ π x = - 1 k

a k = 1 - - 1 k k 2 π

E por último:

b k = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x = - 1 π ∫ 0 π x sen ⁡ ( n x ) d x

Assim como a outra, vamos fazer uma integração por partes, é o mesmo raciocínio:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ ( k x ) d x →   v = - cos ⁡ k x k

Então fica:

b k = - 1 π - x cos ⁡ k x k 0 π + ∫ 0 π cos ⁡ k x k d x = cos ⁡ π x k = - 1 k k

S x = - π 4 + ∑ k = 1 ∞ 1 - - 1 k k 2 π cos ⁡ k x   + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k sen ⁡ ( k x )  

Passo 2

b)Vamos usar a identidade de Parseval para resolver esse paranauê

a 0 2 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π ∫ - π π f x 2 d x

Ele falou pra usar o item anterio, então né, vamos usar o que achamos na letra a)

Mas antes vamos analisar um cara:

a k = 1 - - 1 k k 2 π

Ok, vamos pensar diferente, beleza? Se k = p a r , então esse cara da 0 , se ele for ímpar, então vai dar 2 k 2 π , mas isso é só pra k ímpar, uma forma de expressar isso é:

a k = 2 ( 2 k - 1 ) 2 π

Agora k pode ter qualquer valor, o resultado dentro do parênteses representa esse novo k e sempre dará ímpar para todo k , sacou? Agora podemos usar o somatório normal.

Bem, era mais isso, vamos voltar pra identidade de Parseval e substituir os valores:

π 2 8 + 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 + ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = 1 π ∫ 0 π x 2 d x = π 2 3

Mas opa, já sabemos que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 , então:

π 2 8 + 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 + π 2 6 = π 2 3

Colocando o somatório em evidência

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 = π 4 96

Resposta

a ) S x = - π 4 + ∑ k = 1 ∞ 1 - - 1 k k 2 π cos ⁡ k x   + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k sen ⁡ ( k x )  

b ) ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 = π 4 96