Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

USP, Cálculo 4, P2 - 2012, Questão 3a

a)Sabendo que a série de Fourier de f x = sen x ,   x - π , π   é

S x = 2 π + 4 π k = 1 cos 2 k x 1 - 4 k 2

Determine

k = 1 1 4 k 2 - 1 2

Passo 1

a)

Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele deu a série de Fourier de f x , e além disso olhando para essa série de Fourier dele podemos perceber que

a 0 = 4 π

a k = 4 π . 1 1 - 4 k 2

b k = 0

Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de a k 2 , esse a k 2 te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.

Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?

a 0 2 2 + k = 1 ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π - π π f x 2 d x

como b k = 0 vai sobrar só o a k 2 como queríamos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora dar uma trabalhada a identidade de Parseval.

Ae vendo a cara da série que ele nos deu:

a 0 2 = 2 π a 0 2 4 = 4 π 2 a 0 2 2 = 8 π 2

a k = 4 π . 1 1 - 4 k 2 a k 2 = 16 π 2 . 1 1 - 4 k 2 2

b k = 0

Pronto, agora é só substituir na igualdade

8 π 2 + 16 π 2 k = 1 1 1 - 4 k 2 2 = 1 π - π π sen 2 x d x

Passo 3

Vamos resolver aquela integral do lado direito

- π π sen 2 x d x

Lembrando que

sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

Então

- π π sen 2 x d x = - π π 1 - cos 2 x 2 d x

Resolvendo essa integral

- π π 1 - cos 2 x 2 d x = x - sen 2 x 2 2 - π π = x 2 - sen 2 x 4 - π π

= π 2 - sen 2 π 4 - - π 2 - sen - 2 π 4 =

= π 2 + π 2 =

= π

Passo 4

Voltando para a identidade de Parseval, temos

Logo:

8 π 2 + 16 π 2 k = 1 1 1 - 4 k 2 2 = 1 π π

Então ficou:

8 π 2 + 16 π 2 k = 1 1 1 - 4 k 2 2 = 1

Colocando o somatório em evidência:

k = 1 1 1 - 4 k 2 2 = π 2 16 - 1 2

Resposta

k = 1 1 1 - 4 k 2 2 = π 2 16 - 1 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas