Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

UFPE, Cálculo 4, 3º EE - 2018.1, Questão 1

Considere a função f : R R , periódica de período 2 , que no intervalo - 1,1 é definida por f x = 8 x 7 e, seja S x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x + b n sen n π x

a série de Fourier desta função.

  1. Calcule a n , n = 0,1 , 2 ;
  2. Determine os valores de x para os quais S x = f x .
  3. Calcule k = 1 b 2 k - 1 ;
  4. Use a igualdade de Parseval para calcular n = 1 b n 2 .

Passo 1

Vamos fazer letra por letra, começando com a letra (a). Ok, o ponto chave aqui é ver que: f - x = 8 - x 7 = 8 - 1 7 x 7 = - 8 x 7 = - f x

f - x = - f x

Assim, a função f x é impar e teremos uma série somente em senos. Logo:

a n = 0 ,     n

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Passo 2

Vamos agora para a letra (b). Para podermos visualizarmos melhor o que está acontecendo, vamos fazer um esboço rápido da função.

f - 1 = 8 - 1 7 = - 8

f 0 = 8 0 = 0

f 1 = 8 1 7 = 8

Assim:

Como a função é periódica, repetimos o gráfico:

Olhando para ele dá para ver que a função é continua em todos os pontos com exceção de:

- 3 , - 1,1 , 3

Ou seja, com exceção dos inteiros ímpares:

x = 2 k - 1 ,   k Z

Agora, a partir do teorema da convergência da série de Fourier, temos que a série converge para função em todos os pontos em que a função for contínua. Portanto, teremos que:

S x = f x ,     x 2 k - 1 ,     k Z

Passo 3

Legal, vamos para letra (c) agora! Cuidado aqui para não sair calculando b n , pois dará muito trabalho e não vai levar para onde queremos.

Queremos determinar:

k = 1 - 1 k + 1 b 2 k - 1

Para isso, vamos observar a série de Fourier:

S x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x + b n sen n π x

Como a n = 0 ( a 0 = 0 ):

S x = n = 1 b n sen n π x

Agora, para ficar na forma

S x =   n = 1 b n sen n π x

Para que apareça a série que o problema pediu, podemos fazer x = 1 / 2 , pois assim:

S 1 / 2 = n = 1 b n sen n π 2

Sendo que, pelo círculo trigonométrico: sen π 2 = - sen 3 π 2 = sen 5 π 2 = - sen 7 π 2 = - 1 n ,     n   í m p a r

sen 2 π 2 = sen 4 π 2 = sen 6 π 2 = 0 ,     n   p a r

Assim, teremos somente os termos ímpares 2 k - 1 multiplicando - 1 k + 1 para x = 1 / 2 :

S 1 / 2 = k = 1 - 1 k + 1 b 2 k - 1

Como x = 1 / 2 é um ponto em que a função f x é contínua, então: S 1 2 = f 1 2 = 8 1 2 7 = 8 128 = 1 16

Logo, vamos ter:

k = 1 - 1 k + 1 b 2 k - 1 = 1 16

Passo 4

Show, para fechar, vamos para a letra (d). Começamos lembrando a identidade de Parseval:

1 L - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + n = 1 a n 2 + b n 2

Para o nosso caso, temos: - 1 1 8 x 7 2 d x = n = 1 b n 2  

Vamos calcular a integral à esquerda: - 1 1 8 x 7 2 d x = 64 - 1 1 x 1 4 d x

Como a função do integrando é par:

= 2 64 0 1 x 14 d x = 128 15 x 14 0 1 = 128 15

Igualando com a série à direta:

n = 1 b n 2 = 128 15

Que é justamente a série que a questão pediu. 😊

Resposta

  1. a n = 0
  2. S x = f x ,     x 2 k - 1 ,     k Z
  3. k = 1 - 1 k + 1 b 2 k - 1 = 1 16
  4. n = 1 b n 2 = 64 15

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