Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

USP, Cálculo 4, P2 - 2010, Questão 3

  1. Determine a série de senos da função f x = π - x , 0 < x < π
  2. Seja S : R R a soma da série obtida no item a. Determine S x e esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Calcule a soma da série

n = 1 1 n 2

Passo 1

Vamos começar essa parada fazendo o gráfico dessa série de Fourier.

Essa é a definição de f x que o problema deu de 0 à π

Para desenhar essa reta basta pegarmos os valores de f 0 e f π

f 0 = π

f π = 0

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos.

Primeiro nós espelhamos a função em relação ao eixo y

Agora vamos espelhar essa reta verde no eixo x

O período de f - é essa parte verde mais a parte azul!, é só repetir isso direto.

Pronto, temos então a função periódica. É bom desenharmos sempre esse tracejado para marcarmos o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de descontinuidade a função vai vale a média dos limites laterais. Neste caso

f x + + f x - 2 = 0

Nos colocamos então bolinhas cheias em y = 0 . (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Esse gráfico ajudou a vermos como fica a parada, a grande questão agora é fazer os termos dessa série.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos

f x = n = 1 b n sen n π x L

Com

a n = 0

E

b n = 2 L 0 L f x sen n π x L d x

Ambos com n sendo 0,1 , 2,3

Como o período da função vai ser 2 π , vamos ter

2 L = 2 π

L = π

Passo 3

Vamos calcular aqueles valores de b n

b n = 2 π 0 π π - x sen n π x π d x

b n = 2 π 0 π π - x sen n x d x

Vamos resolver essa integral por partes

u = π - x d u = - d x

d v = sen n x d x v = - 1 n cos n x

Vamos ter

π - x sen n x d x = - π - x n cos n x - 1 n cos n x d x

Assim vamos ter

π - x sen n x d x = - π - x n cos n x - 1 n 1 n sen n x

π - x sen n x d x = - π - x n cos n x - 1 n 2 sen n x

Assim vamos ter

b n = 2 π - π - x n cos n x - 1 n 2 sen n x 0 π =

b n = 2 π - π - π n cos n π - 1 n 2 sen n π - - π n cos 0 - 1 n 2 sen 0

b n = 2 π - - π n

b n = 2 π π n = 2 n

Passo 4

Agora a nossa função vai ser

f x = n = 1 2 n sen n x

Passo 5

b)

Vamos escrever agora como pode ser a nossa S x

S x = f x s e 0 < x π - f - x s e - π x < 0 0 s e x = 0

Então como f x = π - x

S x = π - x s e 0 < x π - π - x s e - π x < 0 0 s e x = 0

Com

S x + 2 π = S x

O gráfico vai ser aquele que já fizemos

Passo 6

c)

Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele temos a série de Fourier de f x , e além disso olhando para essa série de Fourier dele podemos perceber que

a 0 = 0

b k = 2 n

a k = 0

Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de b k 2 , esse b k 2 te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.

Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?

a 0 2 2 + k = 1 ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π - π π f x 2 d x

como b k = 0 vai sobrar só o a k 2 como queríamos.

Passo 7

Vamos agora dar uma trabalhada a identidade de Parseval.

Ae vendo a cara da série que ele nos deu:

a 0 2 = 0 a 0 2 2 = 0

a k = 0 a k 2 = 0

b k = 2 n

Pronto, agora é só substituir na igualdade

0 + k = 1 4 n 2 = 1 π - π π f - x 2 d x

Repara que aqui estamos usando a extensão de f x , que vai ser ímpar então

k = 1 4 n 2 = 2 π 0 π f x 2 d x

Vamos substituir o valor de f x

k = 1 4 n 2 = 2 π 0 π π - x 2 d x = 2 π 0 π π 2 - 2 x π + x 2 d x

k = 1 4 n 2 = 2 π π 2 x - 2 π x 2 2 + x 3 3 0 π

k = 1 4 n 2 = 2 π π 2 π - 2 π π 2 2 + π 3 3 - π 2 0 - 2 π 0 2 2 + 0 3 3

k = 1 4 n 2 = 2 π π 3 - π 3 + π 3 3

k = 1 4 n 2 = 2 π 2 3

Então

k = 1 1 n 2 = 2 π 2 12

k = 1 1 n 2 = π 2 6

Resposta

a)

f x = n = 1 2 n sen n x

b)

S x = π - x s e 0 < x π - π - x s e - π x < 0 0 s e x = 0

Com

S x + 2 π = S x

c)

k = 1 1 n 2 = π 2 6

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