Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

UFPE, Cálculo 4, 3º EE - 2018.2, Questão 1

Questão 1: Considere a função periódica de período 10 , que no intervalo [ - 5 ,   5 ) é definida por

f x = 2 ,                             - 5 x < 0 2 - x ,                       0 x < 5

  1. Escreva a série de Fourier de f , e indique apenas como calcular os seus coeficientes. Calcular o coeficiente a 0 .
  2. Calcule n = 1 a n
  3. Calcule n = 1 - 1 n + 1 a n .
  4. Calcule n = 1 a n 2 + b n 2

Passo 1

Item A)

Pow, a função tem período 2 L = 10 , então nada mais justo do que falar que L = 5 ! Assim, pela teoria, temos a definição da série de Fourier:

S f x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x L + b n sin n π x L

Os coeficientes dessa série são dados por:

a n = 1 L - L L f x cos n π x 5 d x ,         n = 0,1 , 2 ,

b n = 1 L - L L f x sin n π x 5 d x ,         n = 1,2 ,

Ou seja, no nosso caso...

S f x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x 5 + b n sin n π x 5

a n = 1 5 - 5 5 f x cos n π x 5 d x ,         n = 0,1 , 2 ,

b n = 1 5 - 5 5 f x sin n π x 5 d x ,         n = 0,1 , 2 ,

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, agora podemos calcular o termo a 0 ...

a 0 = 1 5 - 5 5 f x cos 0 d x

a 0 = 1 5 - 5 5 f x d x

No caso, a função é definida por partes nesse intervalo de integração:

f x = 2 ,                             - 5 x < 0 2 - x ,                       0 x < 5

Então teremos que separar essa integral em duas, basicamente:

a 0 = 1 5 - 5 5 f x d x = 1 5 - 5 0 2 d x + 0 5 2 - x   d x    

a 0 = 1 5   2 x   - 5 0 + 2 x - x 2 2 0 5    

Substituindo os limites corretamente...

a 0 = 1 5 - 2 - 5 + 2 5 - 5 2 2    

a 0 = 1 5 10 + - 5 2    

a 0 = 1 5 15 2

a 0 = 3 2

Passo 3

Letra B)

Veja que podemos encontrar o valor dessa série aqui:

n = 1 a n

Se fizermos o x = 0 na série de Fourier:

S f 0 = a 0 2 + n = 1 a n cos 0 + b n sin 0

Pois o seno de 0 é 0 , enquanto o cosseno é 1 !

S f 0 = a 0 2 + n = 1 a n

Agora, como a função f é contínua...

f x = 2 ,                             - 5 x < 0 2 - x ,                       0 x < 5

Podemos falar que a série representa a função nesse intervalo contínuo, em outras palavras:

f 0 = S f 0  

S f 0 = 2 - 0 = 2

Logo...

S f 0 = a 0 2 + n = 1 a n    

2 = 3 2 2 + n = 1 a n    

2 = 3 4 + n = 1 a n    

n = 1 a n =   2 - 3 4 = 5 4

Passo 4

Letra C)

Aqui, no entanto, para calcular essa série...

n = 1 - 1 n + 1 a n

Seria interessante se estivéssemos no ponto x = 5 ...

S f 5 = a 0 2 + n = 1 a n cos n π 5 5 + b n sin n π 5 5  

S f 5 = a 0 2 + n = 1 a n cos n π + b n sin n π  

Como seno de múltiplos de π é 0 e o cosseno é ora 1 e ora - 1 ( cos n π = - 1 n )...

S f 5 = a 0 2 + n = 1 - 1 n a n  

Viu só? Multiplicando por - 1 agora...

- S f 5 = - a 0 2 + n = 1 - 1 - 1 n a n  

- S f 5 = - a 0 2 + n = 1 - 1 n + 1 a n

Agora a grande questão é: quem é S f 5 ?

Passo 5

Pois bem, para responder essa pergunta, perceba que 5 é o último ponto da função, e ainda a função não está definida nele:

f x = 2 ,                             - 5 x < 0 2 - x ,                       0 x < 5

Mas como a função é periódica:

f x = 2 ,                             5 x < 10 2 - x ,                       10 x < 15

A série de Fourier nesse ponto problemático é a média dos limites laterais da função:

S f 5 = f + 5 + f - 5 2

Como f + 5 é o limite pela direita, a função f x tende a 2 , enquanto que f - 5 é o limite pela esquerda e portanto f x tende a 2 - x = 2 - 5 = - 3 ...

S f 5 = 2 + - 3 2 = - 1 2

Portanto, voltando para a série...

- S f 5 = - a 0 2 + n = 1 - 1 n + 1 a n    

- - 1 2 = - 3 4 + n = 1 - 1 n + 1 a n  

n = 1 - 1 n + 1 a n = 1 2 + 3 4 = 5 4

Passo 6

Letra D)

Por último, podemos calcular a série:

n = 1 a n 2 + b n 2

Pela famosa identidade de Parseval, que nos fala o seguinte:

n = 1 a n 2 + b n 2 = 1 L - L L f x 2   d x

Então, no nosso caso...

n = 1 a n 2 + b n 2 = 1 5 - 5 5 f x 2   d x - a 0 2 2

Calculando a integral de forma semelhante ao item a ...

- 5 5 f x 2   d x = - 5 0 2 2   d x + 0 5 2 - x 2   d x

- 5 5 f x 2   d x = - 5 0 4   d x + 0 5 4 - 4 x + x 2   d x

- 5 5 f x 2   d x =   4 x   - 5 0 +   4 x - 2 x 2 + x 3 3   0 5

- 5 5 f x 2   d x = - 4 - 5 + 4 5 - 2 5 2 + 5 3 3

- 5 5 f x 2   d x = 20 + 20 - 50 + 125 3

- 5 5 f x 2   d x = 20 + 20 - 25 3

- 5 5 f x 2   d x = 20 + + 3 5 3

- 5 5 f x 2   d x = 95 3

Então...

n = 1 a n 2 + b n 2 = 1 5 - 5 5 f x 2   d x - a 0 2 2

n = 1 a n 2 + b n 2 = 1 5 95 3 - 3 2 2 2

n = 1 a n 2 + b n 2 = 19 3 - 9 8 = 125 24

Resposta

Item A)

S f x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x 5 + b n sin n π x 5

a n = 1 5 - 5 5 f x cos n π x 5 d x ,         n = 0,1 , 2 ,

b n = 1 5 - 5 5 f x sin n π x 5 d x ,         n = 0,1 , 2 ,

Item B)

3 2

Item C)

5 4

Item D)

125 24

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