Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2011, Questão 3

Sabendo que a série de Fourier de senos de g x = x π - x , em 0 , π é

8 π sen x + sen 3 x 3 3 + sen 5 x 5 3 +

  1. Calcule S - π 2 , S 9 e S 10
  2. Calcule

n = 0 1 2 n + 1 6

Passo 1

a)

Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele deu a série de Fourier de senos de g x , vamos escrever essa soma em forma de somatório

8 π n = 0 1 2 n + 1 3 sen 2 n + 1 n

n = 0 8 / π 2 n + 1 3 sen 2 n + 1 n

Essa na verdade é a série da extensão ímpar de g x , vamos chamar essa extensão de g - , vamos fazer aqui o gráfico da extensão ímpar dessa função.

Primeiro vamos colocar a nossa função ali

Agora vamos rebater isso no eixo y

Depois é só rebater no eixo x .

Agora é só repetir isso

Isso nos diz que a série de Fourier vai ser aquela série que ele deu, e podemos aproximar pela função

S x = f x 0 x π - f - x - π x 0

S x = x π - x 0 x π - ( - x ) π - - x - π x 0

S x = x π - x 0 x π x π + x - π x 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar a série de Fourier para achar S - π 2

Esse valor já está no intervalo da função, então

S - π 2 = - π 2 π - π 2 = - π 2 π 2 = - π 2 4

Passo 3

Vamos achar agora S 9

Lembrando que π 3,14 , temos que achar os múltiplos impares desse cara próximos de 9

3 π = 9,42

Então

π < 9 < 3 π

Para acharmos isso no intervalo de π a π vamos subtrair 2 π de todo mundo.

- π < 9 - 2 π < π

Vamos aproximar esse valor para saber onde ele entra na função

9 - 2 π 9 - 6,28 2,72

Isso é maior que 0 , assim temos

S 9 = S 9 - 2 π = 9 - 2 π π - 9 - 2 π = 9 - 2 π 3 π - 9

Passo 4

Vamos achar agora S 10

Lembrando que π 3,14 , temos que achar os múltiplos impares desse cara próximos de 9

3 π = 9,42

5 π = 15,7

Então

3 π < 10 < 5 π

Para acharmos isso no intervalo de π a π vamos subtrair 4 π de todo mundo.

- π < 10 - 4 π < π

Vamos aproximar esse valor para saber onde ele entra na função

9 - 4 π 10 - 12,56 - 2,56

Isso é menor que 0 , assim temos

S 10 = S 10 - 4 π = 10 - 4 π π + 10 - 4 π = 10 - 4 π 10 - 3 π

Passo 5

b)

Olhando para essa série de Fourier dele podemos perceber que

a k = 0

b k = 0 c o m   k   p a r 8 / π 2 n + 1 3 c o m   k   í m p a r

Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de b k 2 , esse b k 2 te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.

Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?

a 0 2 2 + k = 1 ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π - π π g - x 2 d x

como a k = 0 e b 2 k = 0 vai sobrar só o b 2 k + 1 2 como queríamos.

Passo 6

Vamos agora dar uma trabalhada a identidade de Parseval.

Ae vendo a cara da série que ele nos deu:

a 0 2 = 0 a 0 2 2 = 0

a k = 0 a k 2 = 0

b k = 0 c o m   k   p a r 1 2 n + 1 3 c o m   k   í m p a r b k 2 = 0 c o m   k   p a r 1 2 n + 1 6 c o m   k   í m p a r

Pronto, agora é só substituir na igualdade

k = 1 8 / π 2 n + 1 3 2 = 1 π - π π g - x 2 d x

Como g - é ímpar, vamos ter g - 2 sendo par, assim essa integral vai ficar

64 π 2 k = 1 1 2 n + 1 6 = 2 π 0 π g x 2 d x

Isso porque g x é a parte de g - x no intervalo da integral.

Substituindo o valor de g x

64 π 2 k = 1 1 2 n + 1 6 = 2 π 0 π x π - x 2 d x

Passo 7

Vamos resolver aquela integral do lado direito

0 π x π - x 2 d x =

0 π π x - x 2 2 d x =

0 π π 2 x 2 - 2 π x 3 + x 4 d x =

π 2 x 3 3 - 2 π x 4 4 + x 5 5 0 π =

π 2 π 3 3 - 2 π π 4 4 + π 5 5 =

π 5 3 - π 5 2 + π 5 5 =

π 5 10 - 15 + 6 30 =

π 5 30

Passo 8

Voltando para a identidade de Parseval, temos

Logo:

64 π 2 k = 1 1 2 n + 1 6 = 2 π π 5 30

Então ficou:

64 π 2 k = 1 1 2 n + 1 6 = π 4 15

k = 1 1 2 n + 1 6 = π 4 15 π 2 64

k = 1 1 2 n + 1 6 = π 6 960

Mas ele quer para k = 0 , então temos que

k = 0 1 2 n + 1 6 = 1 0 + 1 6 + k = 1 1 2 n + 1 6 = 1 + π 6 960

Resposta

a)

S - π 2 = - π 2 4

S 9 = 9 - 2 π 3 π - 9

S 10 = 10 - 4 π 10 - 3 π

b)

k = 0 1 2 n + 1 6 = 1 + π 6 960

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