Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Enunciado

Sabendo que a série de Fourier de senos de g x = x π - x , em 0 , π é

8 π sen ⁡ x + sen ⁡ 3 x 3 3 + sen ⁡ 5 x 5 3 + …

Calcule

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 6

Passo 1

Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele deu a série de Fourier de senos de g x , vamos escrever essa soma em forma de somatório

8 π ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 3 sen ⁡ 2 n + 1 n

∑ n = 0 ∞ 8 / π 2 n + 1 3 sen ⁡ 2 n + 1 n

Essa na verdade é a série da extensão ímpar de g x , vamos chamar essa extensão de g - , como ele não está pedindo a série não vamos nos preocupar em desenha o gráfico dessa parada.

Olhando para essa série de Fourier dele podemos perceber que

a k = 0

b k = 0 c o m   k   p a r 8 / π 2 n + 1 3 c o m   k   í m p a r

Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de b k 2 , esse b k 2 te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.

Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?

a 0 2 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π ∫ - π π g - x 2 d x

como a k = 0 e b 2 k = 0 vai sobrar só o b 2 k + 1 2 como queríamos.

Passo 2

Vamos agora dar uma trabalhada a identidade de Parseval.

Ae vendo a cara da série que ele nos deu:

a 0 2 = 0 → a 0 2 2 = 0

a k = 0 → a k 2 = 0

b k = 0 c o m   k   p a r 1 2 n + 1 3 c o m   k   í m p a r → b k 2 = 0 c o m   k   p a r 1 2 n + 1 6 c o m   k   í m p a r

Pronto, agora é só substituir na igualdade

∑ k = 1 ∞ 8 / π 2 n + 1 3 2 = 1 π ∫ - π π g - x 2 d x

Como g - é ímpar, vamos ter g - 2 sendo par, assim essa integral vai ficar

64 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = 2 π ∫ 0 π g x 2 d x

Isso porque g x é a parte de g - x no intervalo da integral.

Substituindo o valor de g x

64 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = 2 π ∫ 0 π x π - x 2 d x

Passo 3

Vamos resolver aquela integral do lado direito

∫ 0 π x π - x 2 d x =

∫ 0 π π x - x 2 2 d x =

∫ 0 π π 2 x 2 - 2 π x 3 + x 4 d x =

π 2 x 3 3 - 2 π x 4 4 + x 5 5 0 π =

π 2 π 3 3 - 2 π π 4 4 + π 5 5 =

π 5 3 - π 5 2 + π 5 5 =

π 5 10 - 15 + 6 30 =

π 5 30

Passo 4

Voltando para a identidade de Parseval, temos

Logo:

64 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = 2 π π 5 30

Então ficou:

64 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = π 4 15

∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = π 4 15 π 2 64

∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = π 6 960

Resposta

∑ k = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 = π 6 960