Exercícios Resolvidos de Incerteza

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Enunciado

Você gostaria de calcular a área de um retângulo de comprimento L e altura H , utilizando uma régua milimetrada.

  1. Qual é a incerteza associada à área a ser calculada?
  2. Como você poderia melhorar a precisão da medida utilizando o mesmo instrumento? Apresente o valor da área calculada juntamente com a incerteza associada.

Passo 1

Oi, tudo bem?

Letra a)

Em aparelhos de medição manual (como réguas, trenas etc) é normal se atribuir uma incerteza à medida. Isso se dá porque podemos ter erros nos tamanhos, erros de fabricação mesmo.

E com isso é usual adotar a incerteza σ como sendo a metade da precisão do aparelho:

σ = 1 2 ( p r e c i s ã o   d o   a p a r e l h o )

Sendo assim, uma régua milimetrada, que lê em milímetros a incerteza vai ser:

σ = 1 2 1 m m = 0,5 m m

Assim a altura e o comprimento seriam:

L = L l i d o ± 0,5 m m

H = H l i d o ± 0,5 m m

Como vamos calcular uma área, iremos propagar a incerteza:

A 0 = L × H

E daí a área

Passo 2

A incerteza associada a ele é:

σ A 2 = ∂ A ∂ L 2 σ L 2 + ∂ A ∂ H 2 σ H

A derivada parcial é a derivada de uma função em relação a uma variável, considerando as outras constantes.

A derivada parcial da área em relação a L (mantendo H cte) é:

∂ A ∂ L = H

E a derivada parcial da área em relação a H (mantendo L cte) é:

∂ A ∂ H = L

Sendo assim a incerteza quadrática fica:

σ A 2 = H 2 σ L 2 + L 2 σ H 2

E dividindo pela área ao quadrado dos dois lados:

σ A 2 A 0 2 = H 2 σ L 2 L 2 H 2 + L 2 σ H 2 L 2 H 2

σ A 2 A 0 2 = σ L 2 L 2 + σ H 2 H 2

Como aqui σ L = σ H = 0,5 m m temos:

σ A 2 = A 0 2 0,5 2 L 2 + 0,5 2 H 2

E tirando a raiz:

σ A = 0,5 A 0 1 L 2 + 1 H 2

Essa é a incerteza associada a área!

A = A 0 ± 0,5 A 0 1 L 2 + 1 H 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Letra b)

Poderíamos melhorar utilizando várias réguas milimetradas, assim teríamos várias medidas, e assim podemos fazer um tratamento estatístico nas medidas.

Quanto mais medidas tivermos, mais vamos convergir para um valor mais próximo do real.

=)

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

A 0 ± 0,5 A 0 1 L 2 + 1 H 2

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