Exercícios Resolvidos de Inequações com TVM

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 286-58.

Demonstre que para quaisquer números a e b a desigualdade sen ⁡ b - sen ⁡ ( a ) ≤ b - a é verdadeira.

Passo 1

A primeira coisa a fazer é tentar deixar a inequação com o formato da fórmula do TVM. Para isso, dividimos tudo por b - a :

sen ⁡ b - sen ⁡ ( a ) ≤ b - a ⟹ sen ⁡ b - sen ⁡ a b - a ≤ 1

Podemos usar uma linda propriedade dos módulos que diz:

a b = a | b |

Assim:

sen ⁡ b - sen ⁡ a b - a ≤ 1

Legal, como o módulo é sempre positivo, então a fração em si será limitada por:

- 1 ≤ sen ⁡ b - sen ⁡ a b - a ≤ 1

E, pelo TVM, existirá c ∈ ( a , b ) tal que:

f ' c = sen ⁡ b - sen ⁡ a b - a

Assim, substituindo: - 1 ≤ f ' c ≤ 1

Assim, para provar a desigualdade, só precisamos mostrar que f ' c é sempre maior ou igual a - 1 e menor ou igual a 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Mas qual é será f ' c ? Comparando a fórmula que a gente achou com a fórmula geral do TVM:

f ' c = sen ⁡ b - sen ⁡ a b - a ;   f ' c = f ( b ) - f ( a ) b - a

Temos que:

f x = sen ⁡ ( x )

Assim, derivando e substituindo c :

f ' x = cos ⁡ x ⟹ f ' c = cos ⁡ ( c )

Sendo que o cosseno tem valores sempre entre - 1 e 1 , então, para qualquer c :

- 1 ≤ cos ⁡ ( c ) ≤ 1

O que demonstra a inequação.

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