Exercícios Resolvidos de Inequações com TVM

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Enunciado

Verifique que, para todo par de pontos x ,     y ∈ - π 2 , π 2 tem-se:

tg ⁡ x - tg ⁡ y ≥ x - y

(Dica: use o Teorema do Valor Médio)

Passo 1

Bom, vamos primeiramente enunciar o teorema para então bolar nossa estratégia:

Seja f uma função contínua em [ a ,   b ] :

Existe um número c tal que a derivada em x = c é igual à inclinação da reta que liga os pontos a ,   f a e b ,   f b .

Ou, em linguagem matemática:

∃   c   ϵ   [ a , b ]   |   f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

Beleza. Agora que temos o teorema, podemos tentar conectar com o que foi pedido. A função no caso é a tangente, como podemos perceber pelo enunciado. E o intervalo [ a ,   b ] seria - π 2 , π 2 .

Só que tem um detalhe importante. Repare que o intervalo do teorema é fechado [ a ,   b ] , isto é, quer dizer que é um conjunto que inclui os números a e b . Já o intervalo do problema é aberto - π 2 , π 2 , isto é, não inclui os números - π / 2 e π / 2 .

Com bons motivos! Porque a tangente desses números tende ao infinito! Ou seja, não daria pra pôr na fórmula algo do tipo tg ⁡ π 2 .

Beleza, só nos resta pensar um intervalo fechado qualquer [ y ,   x ] para atacar a questão. Inclusive fica parecido com o que eles querem . Aplicando o teorema, existe c tal que:

f ' c = tg ⁡ ( x ) - tg ⁡ ( y ) x - y

Calculando a derivada:

f v = tg ⁡ ( v )

f ' v = sec 2 ⁡ ( v )

Portanto, temos:

sec 2 ⁡ ( c ) = tg ⁡ ( x ) - tg ⁡ ( y ) x - y

Passo 3

Agora basta analisar o que ele quer. Basicamente, se arrumarmos o enunciado, usando a álgebra, podemos ver o que realmente eles querem:

tg ⁡ x - tg ⁡ y ≥ x - y

Colocando ele com a cara daquela parada que achamos no fim do passo 2 vamos precisar passar x - y dividindo para esquerda, então vamos ter

tg ⁡ x - tg ⁡ y x - y ≥ 1

Ele basicamente quer que a expressão que nós achamos para a derivada seja maior ou igual a um, portanto ele quer que:

sec 2 ⁡ ( c ) ≥ 1

Mas isso já é um fato no intervalo estudado! Vamos simplesmente mostrar isso.

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Temos que, no intervalo em questão:

x ∈ - π 2 , π 2 ⟹ 0 < cos ⁡ x ≤ 1

Basta olhar o círculo trigonométrico:

Já o inverso do cosseno, pelas propriedades de desigualdades:

a < k ≤ b ⟹ 1 a > 1 k ≥ 1 b

∞ > 1 cos ⁡ x ≥ 1

Ainda pelas propriedades de desigualdades, se elevarmos a função ao quadrado:

1 cos 2 ⁡ ( x ) ≥ 1 2

Portanto, temos:

f ' c = 1 cos 2 ⁡ ( c ) ≥ 1

Passo 4

-

Substituindo de volta na expressão:

tg ⁡ x - tg ⁡ y x - y = f ' c ≥ 1

Pegando o módulo em ambos os lados:

tg ⁡ x - tg ⁡ y x - y ≥ 1

Isolando:

tg ⁡ x - tg ⁡ y ≥ x - y

C.Q.D. (Como queríamos demonstrar).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)