Exercícios Resolvidos de Inequações com TVM

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Enunciado

Mostre que

arctg ⁡ x x ≤ 1 ,

para todo x > 0 .

Passo 1

-

A partir do TVM, teríamos isso aqui:

f b - f a = f ' ( c ) ( b - a )

Onde, pela questão, teríamos essa relação:

0 < a < c < b

Se eu chamar minha função nesse caso de f x = arctg ⁡ ( x ) eu poderia definir sua derivada f ' ( x ) da seguinte maneira:

f ' x = 1 1 + x 2

Vou trabalhar para qualquer x maior que 0 . Vou trabalhar essa comparação então sendo meu b igual a variável qualquer x e meu a como o limite inferior do domínio dado, o 0 . Chamo o c de uma outra variável auxiliar x * onde eu tenho 0 < x * < x .

b = x   ; a = 0   ; c = x *

Vamos aplicar então isso na fórmula inicial do TVM:

f b - f a = f ' c b - a

arctg ⁡ ( x ) - arctg ⁡ 0 = 1 1 + x * 2 ( x - 0 )

arctg ⁡ ( x ) = 1 1 + x * 2 ( x )

Se eu passo o x dividindo eu chego na forma da função do enunciado!

arctg ⁡ x x = 1 1 + x * 2

Olha para o termo da direita. Para x positivo aquele denominador só vai crescer, correto? Nesse caso, o termo vai cada vez mais decrescer sendo sempre menor que 1 . Se aquilo é uma igualdade, o mesmo vale para o outro termo, provando então o que queríamos:

arctg ⁡ x x ≤ 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)