Exercícios Resolvidos de Inequações com TVM

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Enunciado

Sejam a e b com 1 ≤ a ≤ b ≤ e . Prove que

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ 1 a 2 ( b - a )

Passo 1

Vamos começar definindo, pelo formato que está representado ali, uma função que seja contínua nesse intervalo:

f x = ln ⁡ x x

Essa função é contínua no intervalo ] 0 , + ∞ [ , uma vez que não existe ln ⁡ ( x ) para número negativo. Além disso, é um quociente de funções deriváveis então também é derivável no mesmo intervalo. Bom, vamos aplicar aí o Teorema do Valor Médio:

f b - f a = f ' ( c ) ( b - a )

Onde c é uma constante qualquer entre b e a e temos, pela informação inicial, que os valores das constantes se relacionam assim:

1 ≤ a < c < b ≤ e

Bora calcular essa derivada f ' ( c ) e depois garantir, de algum jeito, que ela está sempre menor que 1 / a 2 por que, dessa forma, teremos isso:

f b - f a = f ' c b - a                                               f ' c < 1 a 2   ,         p a r a   t o d o   c   n o   i n t e r v a l o → ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ 1 a 2 ( b - a )

Passo 2

Então vamos lá, vou começar derivando a função, ok?

f x = ln ⁡ x x → f ' x = ln ⁡ x ' x - ln ⁡ x x ' x 2 = 1 x x - ln ⁡ x x 2

= 1 - ln ⁡ x x 2

Aplicando à relação inicial do TVM, eu tenho isso:

f b - f a = f ' c b - a → ln ⁡ b b - ln ⁡ a a = 1 - ln ⁡ c c 2 ( b - a )

Passo 3

-

Bom, eu sei que 1 < c < e , o que me diz:

ln ⁡ 1 < ln ⁡ c < ln ⁡ e

0 < ln ⁡ ( c ) < 1

Se eu inverter, troco o sentido da relação de maior-menor. Depois basta somar 1 para ter o termo do numerador da derivada f ' ( c ) :

0 > - ln ⁡ c > - 1

1 + 0 > 1 - ln ⁡ c > 1 - 1

1 > 1 - ln ⁡ c > 0

Ok, somando a essa informação, posso dizer que c > a , como já tinha inicialmente. Agora, seus inversos, sendo positivas as duas constantes, trocam a ordem no sinal de maior-menor, ou seja:

1 c < 1 a

Ao quadrado, mesma coisa:

1 c 2 < 1 a 2

Resumindo: se o próprio termo 1 c 2 já é menor que 1 a 2 e eu multiplico a ele um fator entre 0 e 1 , no caso o ( 1 - ln ⁡ c ) , eu garanto que o termo todo é menor que o 1 a 2 . Assim, se tenho:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a = 1 - ln ⁡ c c 2 ( b - a )

Sei que

1 - ln ⁡ c c 2 < 1 a 2

O que me diz, finalmente:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ 1 a 2 ( b - a )

Está provada a relação!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)