Exercícios Resolvidos de Inequações exponenciais e logarítmicas

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução das inequações abaixo:

a) log 1 3 log 4 x 2 - 5 > 0

b) log 2 ( x - 3 ) + log 2 ( x - 2 ) 1

Passo 1

(a)

Temos que:

log 1 3 1 = 0

Pois qualquer número elevado 0 1 .

Assim temos que:

log 1 3 log 4 x 2 - 5 > 0 log 1 3 log 4 x 2 - 5 > log 1 3 1

Como as bases são menores que um e maiores que zero, cortamos o log e invertemos a desigualdade: log 4 x 2 - 5 < 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora muita atenção, detalhe importantíssimo: os argumentos dos logaritmos têm que ser positivos!! Log de zero, ou log de número negativo não pode!

E lá no enunciado a gente tinha o termo

log 1 3 log 4 x 2 - 5

Ou seja, também devemos ter:

log 4 x 2 - 5 > 0

Daí concluímos que:

0 < log 4 x 2 - 5 < 1

Passo 3

Dito isso, vamos continuar!

Temos que: log 4 1 = 0 log 4 4 = 1

Então:

0 < log 4 x 2 - 5 < 1

log 4 1 < log 4 x 2 - 5 < log 4 4

Como a base 4 é maior que um, cortamos o log e mantemos a desigualdade:

1 < x 2 - 5 < 4

Passo 4

Vamos resolver as duas inequações separadamente:

x 2 - 5 > 1     e     x 2 - 5 < 4

Começando pela primeira:

  x 2 - 5 > 1

x 2 > 6

x < - 6     o u     x > 6

Agora vamos pra segunda:

x 2 - 9 < 0

- 3 < x < 3

Juntando tudo, obtemos a solução final da inequação:

- 3 < x < - 6     o u     6 < x < 3

Passo 5

(b)

Antes de mais nada, vamos relembrar: os termos dentro dos logs têm que ser positivos, então, pra começo de conversa já sabemos que:

x - 3 > 0 x > 3 x - 2 > 0 x > 2 x > 3

Beleza, agora podemos continuar. :)

Passo 6

Usando a propriedade do log:

log 2 x - 3 + log 2 x - 2 = log 2 x - 3 x - 2

Como:

log 2 2 = 1

Substituindo:

log 2 x - 3 x - 2 log 2 2

Como a base é maior que 1 , cortamos o log e mantemos a desigualdade: x - 3 x - 2 2

Distribuindo:

x 2 - 5 x + 4 0

Agora é resolver inequação de segundo grau, que terá solução:

1 x 4

Mas vimos antes que x > 3 , então a solução é:

3 < x 4

Resposta

(a)

- 3 < x < - 6     o u     6 < x < 3

(b)

3 < x 4

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