Exercícios Resolvidos de Inequações exponenciais e logarítmicas

UPF 2014

As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes pelas funções

M ( t ) = log 8 ⁡ ( 1 + t ) 6

N ( t ) = log 2 ⁡ ( 4 t + 4 )

Onde a variável t representa o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior do que a da outra. O valor mínimo desse instante t é:

a)-1

b)0

c)2

d)3

e) 4

Passo 1

Vamos supor que a população da cidade M é maior que a população da cidade N. Ou seja

M t > N ( t )

Reescrevendo, temos:

log 8 ⁡ ( 1 + t ) 6 >   log 2 ⁡ 4 t + 4

log 2 3 ⁡ ( 1 + t ) 6 >   log 2 4 ⁡ t + 1

Aplicando as propriedade, temos:

6 3 log 2 ( 1 + t ) ⁡ >   log 2 4 ⁡ +   log 2 ⁡ ( 1 + t )

2 log 2 ( 1 + t ) ⁡ -   log 2 ⁡ ( 1 + t ) >   log 2 ⁡ 4

  log 2 ⁡ ( t + 1 ) >   log 2 ⁡ 4

Logo,

t + 1 > 4

t > 3

Portanto, após 3 anos, a população da cidade M será sempre maior do que a da cidade N

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Resposta

Letra D

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