Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas Impróprias – Intervalos Infinitos

CEFET - Cálculo 2 - P2 Pericles 2014.2 - 2

Suponha que x e y sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta f x , y = 0,1   e - ( 0,5 x + 0,2 y ) e x 0 , y 0 e nula nos demais casos. Calcule os valores esperados de x e y .

Passo 1

Bom, antes de tudo, para a gente resolver a questão, precisamos lembrar das seguintes fórmulas da esperança:

E X = - - x   f x , y d x d y

E Y = - - y   f x , y d x d y

Mas, como a nossa questão diz que x 0 e y 0 , os limites inferiores dessas integrais vão ser zero. Então, precisamos resolver o seguinte:

E X = 0 0 x   0,1   e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

E Y = 0 0 y   0,1   e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pela primeira integral, integrando primeiro em relação a y :

E X = 0,1 0 0 x e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d y d x

Agora precisamos relembrar como resolver uma integral imprópria. Usamos o seguinte princípio:

a f t d t = lim A a A f t d t

Ou seja, calculamos a integral com intervalo limitado e tomamos o limite do resultado. Beleza? Vamos aplicar isso aqui.

E X = 0,1 0 lim A 0 A x e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d y d x

E X = - 0,1 0,2 0 lim A x e - ( 0,5 x + 0,2 y ) 0 A d x

E X = - 1 2 0 lim A x e - ( 0,5 x + 0,2 A ) - x e - ( 0,5 x ) d x

E X = - 1 2 0 lim A x e - ( 0,5 x + 0,2 A ) - x e - ( 0,5 x ) d x

Agora repare que

lim A x e - ( 0,5 x + 0,2 A ) = 0

Então temos:

E X = 1 2 0 x e - ( 0,5 x ) d x

Agora vamos integrar em relação a x usando a mesma ideia:

E X = 1 2 lim B 0 B x e - ( 0,5 x ) d x

Vamos fazer integração por partes, fazendo:

u = x               u ' = 1

v ' = e - 0,5 x               v = - 2 e - ( 0,5 x )

0 B x e - ( 0,5 x ) d x = - 2 x e - ( 0,5 x ) 0 B + 0 B 2 e - ( 0,5 x ) d x

0 B x e - ( 0,5 x ) d x = - 2 B e - 0,5 B - 4 e - ( 0,5 x ) 0 B

0 B x e - ( 0,5 x ) d x = - 2 B e - 0,5 B - 4 e - 0,5 B + 4

Substituindo na nossa expressão, temos: E X = 1 2 lim B - 2 B e - 0,5 B + 4 e - 0,5 B - 4

E X = 1 2 [ lim B - 2 B e - 0,5 B + 0 + 4 ]

Agora, como lim B - 0.5 B e - 0,5 B dá uma interterminação ( / ) , vamos aplicar a Regra de L’Hospital aqui:

lim B - 2 B e 0,5 B = lim B - 2 0.5 e 0,5 B = 0

E X = 2

Passo 3

Agora vamos resolver a outra integral, usando o mesmo raciocínio.

E Y = 0,1 0 0 y e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

E Y = 0,1 0 lim A 0 A y e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

E Y = - 0,1 0,5 0 lim A y e - ( 0,5 x + 0,2 y ) 0 A d y

E Y = - 1 5 0 lim A y e - ( 0,5 A + 0,2 y ) - y e - ( 0,5 x ) d y

E Y = - 1 5 0 lim A y e - ( 0,5 A + 0,2 y ) - y e - ( 0,2 y ) d y

Então temos:

E Y = 1 5 0 y e - ( 0,2 y ) d y

Agora vamos integrar em relação a y usando a mesma ideia:

E Y = 1 5 lim B 0 B y e - ( 0,2 y ) d y

Vamos fazer integração por partes, como já fizemos, temos: E X = 1 5 lim B - 5 B e - 0,2 B + 25 e - 0,2 B - 25

E X = 1 5 [ lim B - 5 B e - 0,2 B + 0 + 25 ]

E Y = 5

Resposta

E X = 2

E Y = 5

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