Integrais Duplas Impróprias – Intervalos Infinitos

Teoria Completa

Até agora, você calculou integrais duplas em regiões limitadas (intervalos finitos), certo? A sua região de integração era sempre limitada por um retângulo, arco, parábola, etc , sempre fechada.

Agora, vamos ver como calcular integrais duplas em regiões infinitas.

Lembra quando você viu integrais simples impróprias? Isso aqui:

∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ a n f ( x ) d x

Lembra disso? A gente tirava o infinito da integral, transformava em um intervalo limitado e resolvia a integral. Depois, era só fazer esse n que a gente inventou tender a infinito.

Se o limite existir, essa integral imprópria converge, caso contrário, diverge.

Podia ser isso aqui também:

∫ - ∞ b f ( x ) d x = lim m → - ∞ ⁡ ∫ m b f ( x ) d x

Nesse caso, a gente fazia m tender a - ∞ .

E, juntando os dois casos:

∫ - ∞ + ∞ f ( x ) d x = lim m → - ∞ ⁡ ∫ m k f ( x ) d x + lim n → ∞ ⁡ ∫ k n f ( x ) d x

A gente podia dividir esse intervalo que fosse infinito nas duas direções e, para uma parte, fazíamos o limite ir para + ∞ e, para outra, - ∞ .

Beleza, até aí nada novo.

Vamos, agora, estender esse conceito para duas dimensões. Digamos que você precise calcular essa integral dupla aqui:

I = ∫ 0 2 ∫ 0 ∞ e - x d x d y

A região de integração é uma faixa infinita na direção x , percebeu?

Passo 1

Como qualquer ontra integral dupla, vamos começar pela integral de dentro. Vamos separar só para não confundir:

I = ∫ 0 2 ∫ 0 ∞ e - x d x d y

queremos calcular isso aqui:

∫ 0 ∞ e - x d x

Isso é uma integral simples qualquer, não é? Vamos usar o que a gente viu lá em cima:

∫ a + ∞ e - x d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ a n e - x d x

Agora a integral passou a ter intervalo finito e sabemos resolver:

= lim n → ∞ ⁡ - e - x 0 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 - e - n

Como lim n → ∞ ⁡ e - n = 0 , temos que:

∫ a + ∞ e - x d x = 1 - 0 = 1

Passo 2

Levando isso para nossa integral dupla:

I = ∫ 0 2 ∫ 0 ∞ e - x d x ⏟ 1 d y = ∫ 0 2 d y

I = y 0 2

I = 2

Não mudou muito do que você viu em integrai simples, não é? Você começa pela integral de dentro, fazendo ela ver um intervalo finito. Então, toma o limite desse resultado. O que você encontrar, vai ser seu integrando da segunda integral.

Nesse exemplo, a região era ilimitada apenas na direção x , por isso, a segunda integral tinha intervalos finitos. Mas se não tivesse, era sõ você repetir esse passo a passo de novo. Você transformava o intervalo em finito e tomava seu limite.

(Nesse caso do nosso exemplo, se a região fosse infinita nas duas direções, a integral ia divergir.)

Vamos ver uns exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 2 - P2 Pericles 2014.2 - 2

Suponha que x e y sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta f x , y = 0,1   e - ( 0,5 x + 0,2 y ) e x ≥ 0 , y ≥ 0 e nula nos demais casos. Calcule os valores esperados de x e y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, antes de tudo, para a gente resolver a questão, precisamos lembrar das seguintes fórmulas da esperança:

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x   f x , y d x d y

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y   f x , y d x d y

Mas, como a nossa questão diz que x ≥ 0 e y ≥ 0 , os limites inferiores dessas integrais vão ser zero. Então, precisamos resolver o seguinte:

E X = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x   0,1   e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

E Y = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ y   0,1   e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

Passo 2

Vamos começar pela primeira integral, integrando primeiro em relação a y :

E X = 0,1 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d y d x

Agora precisamos relembrar como resolver uma integral imprópria. Usamos o seguinte princípio:

∫ a ∞ f t d t = lim A → ∞ ⁡ ∫ a A f t d t

Ou seja, calculamos a integral com intervalo limitado e tomamos o limite do resultado. Beleza? Vamos aplicar isso aqui.

E X = 0,1 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A x e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d y d x

E X = - 0,1 0,2 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ x e - ( 0,5 x + 0,2 y ) 0 A d x

E X = - 1 2 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ x e - ( 0,5 x + 0,2 A ) - x e - ( 0,5 x ) d x

E X = - 1 2 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ x e - ( 0,5 x + 0,2 A ) - x e - ( 0,5 x ) d x

Agora repare que

lim A → ∞ ⁡ x e - ( 0,5 x + 0,2 A ) = 0

Então temos:

E X = 1 2 ∫ 0 ∞ x e - ( 0,5 x ) d x

Agora vamos integrar em relação a x usando a mesma ideia:

E X = 1 2 lim B → ∞ ⁡ ∫ 0 B x e - ( 0,5 x ) d x

Vamos fazer integração por partes, fazendo:

u = x       →         u ' = 1

v ' = e - 0,5 x       →         v = - 2 e - ( 0,5 x )

∫ 0 B x e - ( 0,5 x ) d x = - 2 x e - ( 0,5 x ) 0 B + ∫ 0 B 2 e - ( 0,5 x ) d x

∫ 0 B x e - ( 0,5 x ) d x = - 2 B e - 0,5 B - 4 e - ( 0,5 x ) 0 B

∫ 0 B x e - ( 0,5 x ) d x = - 2 B e - 0,5 B - 4 e - 0,5 B + 4

Substituindo na nossa expressão, temos: E X = 1 2 lim B → ∞ ⁡ - 2 B e - 0,5 B + 4 e - 0,5 B - 4

E X = 1 2 [ lim B → ∞ ⁡ - 2 B e - 0,5 B + 0 + 4 ]

Agora, como lim B → ∞ ⁡ - 0.5 B e - 0,5 B dá uma interterminação ( ∞ / ∞ ) , vamos aplicar a Regra de L’Hospital aqui:

lim B → ∞ ⁡ - 2 B e 0,5 B = lim B → ∞ ⁡ - 2 0.5 e 0,5 B = 0

E X = 2

Passo 3

Agora vamos resolver a outra integral, usando o mesmo raciocínio.

E Y = 0,1 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ y e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

E Y = 0,1 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A y e - ( 0,5 x + 0,2 y )   d x d y

E Y = - 0,1 0,5 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ y e - ( 0,5 x + 0,2 y ) 0 A d y

E Y = - 1 5 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ y e - ( 0,5 A + 0,2 y ) - y e - ( 0,5 x ) d y

E Y = - 1 5 ∫ 0 ∞ lim A → ∞ ⁡ y e - ( 0,5 A + 0,2 y ) - y e - ( 0,2 y ) d y

Então temos:

E Y = 1 5 ∫ 0 ∞ y e - ( 0,2 y ) d y

Agora vamos integrar em relação a y usando a mesma ideia:

E Y = 1 5 lim B → ∞ ⁡ ∫ 0 B y e - ( 0,2 y ) d y

Vamos fazer integração por partes, como já fizemos, temos: E X = 1 5 lim B → ∞ ⁡ - 5 B e - 0,2 B + 25 e - 0,2 B - 25

E X = 1 5 [ lim B → ∞ ⁡ - 5 B e - 0,2 B + 0 + 25 ]

E Y = 5

Resposta

E X = 2

E Y = 5

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Instituto de matemática, Departamento de Métodos Matemáticos – Exercícios de Integral imprópria (Adaptada)

Encontre o resultado da integral dupla imprópria abaixo:

∬ D   x y e - x 2 + y 2   d A

Onde D = x ,   y ∈ R |   x ≥ 0 ,   0 ≤ y ≤ 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, como em qualquer caso de integral dupla, vamos começar o nosso problema entendendo melhor a região D de integração:

  1. A faixa   0 ≤ y ≤ 1 , significa que a região só pode estar dentro de pedaço
  2. Onde o y varia entre 0 e 1 , entende?

  3. O problema ainda delimita a faixa pela direita quando ele fala que x ≥ 0 ...

Eis a região D 😊!

Passo 2

Você já deve ter notado que a região cresce infinitamente em x e esse é o motivo para a integral dupla ser imprópria. Vamos montar aqui essa integral:

∬ D   x y e - x 2 + y 2   d A

Como na região D sabemos a variação de x e de y ...

1 º )           0 ≤ y ≤ 1

2 º )                           x ≥ 0

Basta colocar esses intervalos na integral dupla. MAS ATENÇÃO!!! Na integral mais externa, você deve colocar a variação numérica, que no caso é o intervalo de y ...

∬ D   x y e - x 2 + y 2   d A =

∫ 0 1 ∫ 0 ∞ x y e - x 2 + y 2   d x d y

Veja que como o x não tem limite superior, seu limite é o infinito 😉.

Para facilitar os cálculos, tiraremos o infinito da integral e trabalharemos com um limite:

∫ 0 1 ∫ 0 ∞ x y e - x 2 + y 2   d x d y = ∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x d y

Então agora é só calcularmos a integral dupla mesmo como manda o figurino, ou seja, primeiro a de dentro e depois a de fora. Bora?

Passo 3

Vamos começar com o cálculo da integral de dentro...

∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x

Não se assuste com n , pois ele é um número qualquer. Pense por exemplo como se ele fosse o número... sei lá, 2. Como a integral é em x , y é constante...

∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x = y ∫ 0 n x e - x 2 + y 2   d x

Para resolvermos essa integral de dentro façamos a mudança de coordenadas...

- x 2 + y 2 = a       →  

Derivando em relação a x para determinar o x d x ...

d a = - 2 x   d x         →

x d x = - d a 2

Trocando também os limites de integração...

x = 0             →                   a = - x 2 + y 2 = - y 2                            

x = n             →                   a = - x 2 + y 2 = - n 2 + y 2

Logo, substituindo tudo na integral...

y ∫ 0 n x e - x 2 + y 2   d x = y ∫ - y 2 - n 2 + y 2 e a   - d a 2 =

- y 2 ∫ - y 2 - n 2 + y 2 e a   d a =

- y 2 e a - y 2 - n 2 + y 2 =

Substituindo os limites de integração, concluímos que a integral de dentro é...

- y 2 e - n 2 + y 2 - e - y 2

Passo 4

Pegaremos, em seguida, o resultado anterior e jogar novamente dentro da integral dupla que estamos interessados como faríamos em qualquer integral dupla mesmo...

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x d y =

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y 2 e - n 2 + y 2 - e - y 2 d y

Como buscamos um limite em n (nada a ver com y ) podemos tentar tirar o y de dentro do limite... Veja bem que...

e - n 2 + y 2 = e - n 2 ⋅ e - y 2

Então...

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y 2 e - n 2 ⋅ e - y 2 - e - y 2 d y =

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y 2 e - y 2 e - n 2 - 1 d y =

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y e - y 2 2 e - n 2 - 1 d y

Logo, se y é constante, o termo - y e - y 2 / 2 pode vazar do limite...

∫ 0 1 - y e - y 2 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1 d y

Vamos resolver o limite separado...

Passo 5

lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1

Como e - n 2 por propriedade de potência é 1 / e n 2

lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 e n 2 - 1 =

- 1

Logo...

∫ 0 1 - y e - y 2 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1 d y = ∫ 0 1 y e - y 2 2 d y

Passo 6

Por fim, temos que resolver a integral de dentro...

∫ 0 1 y e - y 2 2 d y =

1 2 ∫ 0 1 y e - y 2   d y

Fazendo uma mudança semelhante a que fizemos anteriormente...

- y 2 = b         →

d b = - 2 y   d y       →           y d y = - d b 2

Trocando os limites...

y = 0           →             b = 0

y = 1           →             b = - 1

1 2 ∫ 0 1 y e - y 2   d y = 1 2 ∫ 0 - 1 e b   - d b 2 =

- 1 4 ∫ 0 - 1 e b   d b =

- 1 4 e b 0 - 1 =

Finalmente, substituindo os limites obtemos...

- 1 4 e - 1 - e 0 =

- 1 4 e - 1 - 1

Resposta

- 1 4 e - 1 - 1

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