Enunciado

Utilize o resultado do Exercício 36 , parte (c), para calcular as seguintes integrais:

(a) ∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x

(b) ∫ 0 ∞ x e - x   d x

Passo 1

(a) Galera, vamos tentar resolver a integral usando integração por partes, lembrando que temos que usar o seguinte resultado:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = ∫ 0 ∞ - x 2 ( - 2 x e - x 2 )   d x = - x 2 e - x 2 0 ∞ - ∫ 0 ∞ - 1 2 e - x 2 d x = 0 + 1 2   ∫ 0 ∞ e - x 2 d x = 1 2   . 1 2   ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = 1 4 π

Passo 2

(b) Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis pra resolver a integral:

u = x   ,                     x = u 2   ,                     d x = 2 u   d u

∫ 0 ∞ x e - x   d x = ∫ 0 ∞ 2 u 2 e - u 2 d u = 2 ∫ - ∞ ∞ u 2 e - u 2 d u = 2 ∫ - ∞ ∞ x 2 e - x 2 d x

Usando o resultado item anterior:

  2 ∫ - ∞ ∞ x 2 e - x 2 d x = 2   . 1 4 π = 1 2 π

Resposta

(a) 1 4 π

(b) 1 2 π

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