Exercícios Resolvidos de Integrais Numéricas

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Enunciado

A análise do fluxo de um líquido em duto tem aplicação em muitos sistemas diferentes, incluindo o estudo em veias e artérias no corpo humano, o sistema hidráulico de uma cidade, o sistema de irrigação de uma fazenda, o sistema de jato de tinta de uma impressora, etc.

O atrito de um fluxo ao passar num oleoduto circular gera a chamada velocidade de perfil no fluido.

O óleo que está em contato com as paredes do duto não está se movendo na mesma velocidade que o óleo no centro do fluido. O diagrama abaixo mostra como a velocidade do óleo varia de acordo com o diâmetro do duto e define as variáveis usadas para esta análise:

A velocidade de perfil é definida pela seguinte equação:

v r = v m a x 1 - r r 0 1 n

onde n é um número inteiro entre 5 e 10 que define o contorno do escoamento do óleo. A velocidade média de escoamento do óleo pode ser calculada integrando-se a velocidade de perfil no intervalo de 0 a r 0 :

A = 2 v m a x r 0 2

V = A ∫ 0 r 0 r 1 - r r 0 1 n d r

Os valores de v m a x e de n podem ser medidos experimentalmente, e o valor de r 0 é o próprio raio do tubo. Escreva um programa no MATLAB para integrar a velocidade de perfil e assim determinar a velocidade média do óleo no duto.

Conside n = 6 , v m a x = 1,7   m / s e r 0 = 0,2   m .

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a velocidade média de um óleo escoando em um duto de raio r 0 = 0,2   m , com uma velocidade máxima de v m a x = 1,7   m / s . Para isto, devemos resolver no MATLAB a seguinte integral:

V = A ∫ 0 r 0 r 1 - r r 0 1 n d r

onde A = 2 v m a x r 0 2 .

O resultado desta integral é a velocidade média do óleo. Devemos considerar n = 6 .

Para calcularmos a integral do enunciado, podemos usar a função t r a p z ( ) do MATLAB.

Passo 2

O primeiro passo é entrarmos com as informações do enunciado no MATLAB. Crie um script novo e digite as linhas de código:

Criamos variáveis para armazenar os valores n = 6 , v m a x = 1,7   m / s e r 0 = 0,2   m . Respectivamente, são as variáveis n , v _ m a x e r _ 0 .

Em seguida, calculamos a constante A = 2 v m a x r 0 2 , que é armazenada na variável A .

O passo seguinte consiste em criar as entradas para a função t r a p z ( ) .

Passo 3

Vamos criar o intervalo de integração com as seguintes linhas de código:

Na primeira linha, é criado um vetor r que vai de 0 a r _ 0 , com um passo de 0,001 . O vetor r representa o intervalo de integração pra encontrar a velocidade média do óleo no duto, lembrando que r _ 0 é o raio do duto.

Eu adotei o passo de 0,001 para gerar um resultado mais preciso na integração mais pra frente, mas você pode adotar o passo que quiser. Só não se esqueça que o tamanho do passo tem impacto direto sobre a precisão da integração: quanto menor o passo, mais precisa é a integração numérica.

Na segunda linha de código, a função l e n g t h ( ) conta quantos elementos tem o vetor r e armazena o resultado a variável l .

Agora, vamos criar um vetor representando a função ser integrada: r 1 - r r 0 1 n . Para isto, usaremos um laço f o r , por meio das linhas de código abaixo:

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de r , por meio do comando z e r o s ( 1 ,   l ) . Este vetor é chamado de y e cada elemento dele vai ser substituído no laço f o r pelo resultado de r 1 - r r 0 1 n para cada elemento do vetor r .

Em seguida, inicia-se o laço f o r , criando-se uma variável de controle i que vai de 1 a l . No bloco do f o r , a função r 1 - r r 0 1 n é calculada para cada elemento do vetor r e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor y .

Concluído este passo, temos tudo o que precisamos para fazer a integração pedida no enunciado.

Passo 4

Para resolvermos a integral, usaremos a função t r a p z ( ) , que tem o seguinte formato:

Q = t r a p z ( X , Y )

Ela nos retorna o resultado Q da integração, que representa a área sob a curva Y , definida no intervalo X .

Para nosso problema, o vetor r entraria no lugar de X e o vetor y no lugar de Y . No seu programa, digite a linha de código:

Este comando resolve a integral:

Q = ∫ 0 r 0 r 1 - r r 0 1 n d r

Para encontrarmos a velocidade média V , temos que multiplicar o resultado Q da integral pela constante A , que definimos lá no passo 2:

O produto A * Q corresponde à velocidade média do óleo escoando no duto, a qual é armazenada na variável V .

Ao rodarmos o script do MATLAB, chegamos ao seguinte resultado:

O valor de V é a resposta do exercício.

Resposta

A velocidade média do fluxo de óleo escoando por um duto de raio r 0 = 0,2   m , com uma velocidade máxima de v m a x = 1,7   m / s e considerando n = 6 é de 1,3424   m / s .