Exercícios Resolvidos de Integrais Numéricas

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Enunciado

Com o software MATLAB, usando a Regra dos Trapézios, calcule as integrais das seguintes funções:

  1. ∫ 1 5 ( sin ⁡ x - x 2 + 3,1 ) d x
  2. ∫ - 1 3 ( e x + cos ⁡ x - 2,8 ) d x

Passo 1

O exercício pede para usarmos o MATLAB para calcular a integral numérica de duas funções, usando a Regra dos Trapézios. Isto quer dizer que nos é pedido para usar a função t r a p z ( ) do MATLAB, que calcula integrais usando o método dos trapézios.

Passo 2

A letra a pede para calcular a integral da função:

∫ 1 5 ( sin ⁡ x - x 2 + 3,1 ) d x

Crie um script novo no MATLAB e entre com as duas linhas de código:

Na primeira linha de código, foi criado um vetor x , que vai de 1 a 5 com um passo de 0,01 . Este vetor representa o intervalo de x no qual vamos integrar a função. Escolhi um passo de 0,01 para ter uma maior precisão no resultado, mas você pode escolher o passo que quiser. Mas lembre que quanto menor o passo, maior a precisão da integral numérica.

Na segunda linha de código, o comprimento de x foi armazenado na variável n .

Agora vamos calcular a função sin ⁡ x - x 2 + 3,1 para cada elemento de x . Para fazermos isso, teremos que criar um laço f o r , como no código abaixo:

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de x , por meio do comando z e r o s ( 1 ,   n ) . Este vetor é chamado de y e cada elemento dele vai ser substituído no laço f o r , sendo atualizado com o valor da função para cada valor de x .

Em seguida, inicia-se o laço f o r , criando-se uma variável de controle i que vai de 1 a n . No bloco do f o r , a função sin ⁡ x - x 2 + 3,1 é calculada para cada elemento do vetor x e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor y .

Com os vetores x e y definidos, já podemos calcular a integral da letra a do exercício.

Passo 3

No passo anterior, foram criadas as duas entradas que precisamos para usar a função t r a p z ( ) para calcular a integral da função. Lembrando que t r a p z ( ) tem a seguinte estrutura:

A = t r a p z ( X , Y )

Ela nos retorna o resultado A da integração, que representa a área sob a curva Y , definida no intervalo X .

Para a letra a do exercício, inclua no seu script a seguinte linha de código:

A integral da letra a é resolvida por meio desta linha de código, usando os vetores que criamos no passo 2. Ao rodarmos o programa, temos como resposta:

Lembre que se você usou um passo diferente de 0,01 , seu resultado pode ser um pouquinho diferente, mas não significa que está errado. Você só dividiu a área sob a curva em partes de tamanho diferente do que eu fiz.

Pronto! Letra a resolvida. Vamos fazer a letra b .

Passo 4

A letra b pede para calcular a integral da função:

∫ - 1 3 ( e x + cos ⁡ x - 2,8 ) d x

Para resolvermos a letra b , usaremos o mesmo passo a passo que fizemos para a letra a . Em um novo script do MATLAB, digite as duas linhas de código:

De maneira similar ao passo 2, foi criado um vetor x , que vai de - 1 a 3 com um passo de 0,01 , na primeira linha de código. Escolhi novamente um passo de 0,01 , mas você pode usar o passo que quiser. Assim como no passo 2, este vetor representa o intervalo de x no qual vamos integrar a função.

Na segunda linha de código, o comprimento de x foi armazenado na variável n .

Agora vamos calcular a função e x + cos ⁡ x - 2,8 para cada elemento de x . Novamente, vamos criar um laço f o r :

Este pedaço de código faz exatamente a mesma coisa que o pedaço de código com o laço f o r   apresentado no passo 2.

Primeiramente, é criado um vetor y de zeros de mesmo comprimento de x . Cada elemento de y vai ser atualizado no laço f o r com o valor da função para cada elemento de x .

Em seguida, inicia-se o laço f o r , criando-se uma variável de controle i que vai de 1 a n . No bloco do f o r , a função e x + cos ⁡ x - 2,8 é calculada para cada elemento do vetor x e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor y .

Executando este passo, já temos tudo o que precisamos para calcular a integral da letra b do exercício.

Passo 5

Vamos usar a função t r a p z ( ) para calcular a integral da letra b . Inclua no seu código o comando:

Este comando vai retornar a integral da função e x + cos ⁡ x - 2,8 , representada pelo vetor y , para o intervalo representado pelo vetor x . O resultado é armazenado na variável A , que, aós rodar o código, equivale a:

Lembre que seu resultado pode ser um pouquinho diferente do meu, caso você tenha usado um passo diferente na criação do vetor x .

Letra b resolvida!

Resposta

  1. ∫ 1 5 ( sin ⁡ x - x 2 + 3,1 ) d x ≈ - 28,6768
  2. ∫ - 1 3 ( e x + cos ⁡ x - 2,8 ) d x ≈ 9,5004