Exercícios Resolvidos de Integrais Numéricas

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Enunciado

A massa m é ligada a uma mola de comprimento livre b e rigidez k . O coeficiente de atrito entre a massa e a haste horizontal é μ . A aceleração da massa pode ser demonstrada como x ¨ = - f ( x ) , onde

f x = μ g + k m ( μ b + x ) 1 - b b 2 + x 2

Se a massa é liberada a partir do repouso em x = b , sua velocidade em x = 0 é dada por

v 0 = 2 ∫ 0 b f ( x ) d x

Calcule v 0 por meio de integração numérica usando como dados m   =   0,8   k g , b   =   0,4   m , μ = 0,3 , k = 80   N / m e g   =   9,81   m / s ² .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a velocidade v 0 resolvendo a equação:

v 0 = 2 ∫ 0 b f ( x ) d x

Para encontrarmos v 0 , antes temos que resolver a integral dentro da raiz, usando integração numérica. Para solucionar a integral, podemos usar a função t r a p z ( ) do MATLAB.

O enunciado nos dá como dados:

Com os valores da tabela, podemos definir o intervalo de integração, que vai de 0 a b , e podemos calcular f ( x ) . Desta forma, temos as entradas de t r a p z ( ) .

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer é entrar com os dados fornecidos pelo enunciado no MATLAB. Crie um novo script e digite as linhas de código:

Com estes comandos, entramos no programa os dados da tabela apresentada no passo 1. Chamei a variável que armazena o coeficiente de atrito de m u , que é uma das formas de pronunciar μ , já que não podemos usar letras gregas como nome de variáveis no MATLAB.

Vamos agora criar o intervalo de integração. Ele será representado por um vetor x , construído com o comando:

O vetor x vai de 0 a b , com um passo de 0,001 . Eu adotei o passo de 0,001 para gerar um resultado mais preciso na integração mais pra frente, mas você pode adotar o passo que quiser. Só não se esqueça que o tamanho do passo tem impacto direto sobre a precisão da integração: quanto menor o passo, mais precisa é a integração numérica.

Após ter digitado o comando para criar x , adicione logo abaixo a linha de código:

Esta linha vai armazenar a quantidade de elementos do vetor x na variável l , por meio da função l e n g t h ( ) , que retorna o comprimento de um vetor. Precisamos do número de elementos de x para podermos calcular f ( x ) usando um laço f o r .

Agora, vamos criar um vetor representando a função ser integrada: f x = μ g + k m ( μ b + x ) 1 - b b 2 + x 2

Como dito, usaremos um laço f o r para isto, por meio das linhas de código abaixo:

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de x , por meio do comando z e r o s ( 1 ,   l ) . Este vetor é chamado de f e cada elemento dele vai ser substituído no laço f o r pelo resultado de f x para cada elemento do vetor x .

Em seguida, inicia-se o laço f o r , criando-se uma variável de controle i que vai de 1 a l . No bloco do f o r , a função f x é calculada para cada elemento do vetor x e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor f .

Concluído este passo, temos tudo o que precisamos para fazer a integração.

Passo 3

Para resolvermos a integral, usaremos a função t r a p z ( ) , que tem o seguinte formato:

Q = t r a p z ( X , Y )

Ela nos retorna o resultado Q da integração, que representa a área sob a curva Y , definida no intervalo X .

Para nosso problema, o vetor x entraria no lugar de X e o vetor f no lugar de Y . No seu programa, digite a linha de código:

Este comando resolve a integral:

Q = ∫ 0 b f ( x ) d x

Para encontrarmos v 0 , ainda precisamos fazer algumas continhas com o resultado da integral, armazenado na variável Q , retornada por t r a p z ( ) . Lembre que v 0 é dado por:

v 0 = 2 ∫ 0 b f ( x ) d x = 2 Q

No seu script, digite logo abaixo de Q   =   t r a p z ( x , f ) a linha de código:

Esta linha calcula v 0 usando a expressão dada no enunciado e armazena o resultado em v 0 .

Ao executarmos nosso programa, temos o seguinte resultado para v 0 :

Resposta

A velocidade da massa m em x = 0 é de v 0 = 2,4977   m / s .