Exercícios Resolvidos de Integrais Numéricas

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Enunciado

A figura mostra um semi-espaço elástico que carrega um carregamento uniforme de intensidade q sobre uma área circular de raio a . O deslocamento vertical da superfície no ponto P pode ser calculado como

onde w 0 é o deslocamento em r = a . Use integração numérica para determinar w ( r ) / w 0 em r = 2 a .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a razão w ( r = 2 a ) / w 0 usando integração numérica. Para determinar w ( 2 a ) / w 0 , basta resolver a integral, pois:

w ( r ) w 0 = ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ r / a 2 - sin 2 ⁡ θ d θ

Para resolver a integral de forma numérica, podemos usar a função t r a p z ( ) do MATLAB, que calcula integrais usando o método dos trapézios.

Passo 2

Em um novo script, crie o intervalo de integração com a linha de código:

Esta linha cria um vetor t h e t a , que vai de 0 a π / 2 com um passo de 0,01 , representando o intervalo de θ no qual vamos integrar a função. Escolhi um passo de 0,01 para ter uma maior precisão no resultado, mas você pode escolher o passo que quiser. Mas lembre que quanto menor o passo, maior a precisão da integral numérica.

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a função dentro da integral para cada valor do vetor t h e t a . Podemos simplificar a função ao adotar r = 2 a :

w ( 2 a ) w 0 = ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ 2 a / a 2 - sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ 2 2 - sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ 4 - sin 2 ⁡ θ d θ

Em seu script, implemente o cálculo de f θ = cos 2 ⁡ θ 4 - sin 2 ⁡ θ para cada valor de θ contido no vetor t h e t a com a linha de código:

Os valores de f θ para cada elemento de t h e t a são armazenados no vetor f .

Note o uso dos operadores . ^ 2 e . / : eles indicam ao MATLAB que cada elemento de um vetor deve ser elevado ao quadrado e dividido pelo elemento de mesma posição no vetor do denomindor de uma divisão, respectivamente.

Passo 4

Nos dois passos anteriores, foram criadas as duas entradas que precisamos para usar a função t r a p z ( ) para calcular a integral e obter w ( 2 a ) / w 0 : os vetores t h e t a e f . Lembrando que t r a p z ( ) tem a sintaxe:

A = t r a p z ( X , Y )

Ela nos retorna o resultado A da integração, que representa a área sob a curva Y , definida no intervalo X .

Inclua no seu script a seguinte linha de código:

Este comando resolve numericamente a integral ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ 4 - sin 2 ⁡ θ d θ e armazena em w _ w 0 o resultado dela, que é a razão w ( 2 a ) / w 0 . Ao rodar o programa, vemos que w _ w 0 é igual a:

Resposta

w 2 a w 0 = 0,4063