Exercícios Resolvidos de Integrais Numéricas

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Enunciado

A tabela abaixo mostra a potência P fornecida às rodas motrizes de um carro em função da velocidade v .

Se a massa do carro é de m = 2000   k g , determine o intervalo de tempo ∆ t para que o carro acelere de 1   m / s para 6   m / s . Use o método dos trapézios para a integração. Dica:

∆ t = m ∫ 1   m / s 6   m / s v P d v

que pode ser deduzido a partir da lei de Newton F = m ( d v / d t ) e a definição de potência P = F v .

Passo 1

O enunciado pede para resolvermos a integral:

∆ t = m ∫ 1   m / s 6   m / s v P d v

Usando os dados de v e P da tabela. Como temos valores numéricos de v e P , isto significa que devemos usar integração numérica para resolvermos o problema (que foi o que o enunciado pediu, no final das contas). O resultado da integral corresponde ao intervalo de tempo ∆ t que o carro de 2000   k g leva para acelerar de 1   m / s a 6   m / s .

Como o enunciado pediu para usarmos o método dos trapézios para calcular a integral, usaremos a função t r a p z ( ) do MATLAB para resolver a questão.

Passo 2

O primeiro passo para resolver o problema é entrar com os dados do enunciado no MATLAB, para daí calcularmos a integral. Crie um script novo no MATLAB e digite as três linhas de código abaixo:

Na primeira linha, foi criada uma variável m para armazenar a massa do carro, de 2000   k g .

Na segunda linha, foi criado um vetor v para armazenar os valores de velocidade da primeira linha da tabela. Não entramos com v = 0 (primeira coluna da tabela) pois queremos integrar de 1 a 6   m / s .

Na terceira linha, foi criado um vetor P para armazenar os valores de potência da segunda linha da tabela. Novamente, não entramos com a potência da primeira coluna da tabela, pois não faz parte do intervalo de integração.

Note que o vetor P é multiplicado por 1000 . Isto foi feito para converter k W para W , para obtermos ∆ t em segundos. Se não fizermos esta conversão, ∆ t será dado em milissegundos.

Passo 3

Depois de entrarmos as informações dadas no enunciado no nosso script do MATLAB, vamos criar um vetor representando a função de dentro da integral: v / P . Para isto, inclua no seu código o comando:

Com este comando, dividimos cada elemento de v pelo elemento de P que esteja na mesma posição, o que resulta no vetor y .

O vetor y corresponde à função a ser integrada.

Passo 4

Após concluir o passo 3, temos todos os recursos para resolver a integral:

∆ t = m ∫ 1   m / s 6   m / s v P d v

Usando a função t r a p z ( ) do MATLAB. Lembrando que t r a p z ( ) tem a seguinte estrutura:

A = t r a p z ( X , Y )

Ela nos retorna o resultado A da integração, que representa a área sob a curva Y , definida no intervalo X .

Para nosso problema, o vetor v entraria no lugar de X e o vetor y no lugar de Y . No seu programa, digite a linha de código:

Este comando resolve a integral:

∫ 1   m / s 6   m / s v P d v

Para encontrarmos ∆ t , ainda temos que multiplicar o resultado da integral por m :

O produto m * A resulta no intervalo de tempo para o carro de 2000   k g acelerar de 1   m / s para 6   m / s . O intervalo de tempo é armazendo na variável d e l t a _ t .

Ao rodarmos o código, temos o seguinte resultado:

O valor de d e l t a _ t é a resposta do exercício.

Resposta

O carro de 2000   k g demora 1,2985   s para acelerar de 1   m / s para 6   m / s .