Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

P2- 2014.2 – UFRJ Intervalo de Confiança – T de Student

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média μ m g de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório N μ , σ 2 , onde σ ² = 2500 . A partir de 100 repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média 200   m g de cloreto.

  1. Calcule o intervalo de confiança de 99 % para μ . Interprete o resultado.
  2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de 51 repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a 250   m g e 60   m g . Obtenha o intervalo de confiança de 99 % para o μ que o novo procedimento é capaz de produzir.
  3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).

Passo 1

(a)

Vamos montar um intervalo de confiança para a média de cloreto produzido.

Quais os dados que a gente tem?

A gente sabe que a quantidade de cloreto produzida segue uma distribuição Normal e conhecemos a sua variância e desvio padrão

σ ² = 2500

σ = 50

Pra montar o nosso intervalo a gente tem também os dados de uma amostra de n = 100 repetições do experimento, que tiveram uma média de 200   m g de cloreto produzido.

Então:

n = 100

x ¯ = 200   m g

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Passo 2

Temos dois tipos de intervalo de confiança pra média:

  • Quando a gente conhece o desvio padrão σ ;
  • E quando a gente não conhece σ .

Nesse caso a gente conhece σ ... então nosso intervalo vai ter o seguinte formato:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

Com:

d = z 1 - α 2 . σ n

Passo 3

Falta calcular z 1 - α 2 .

O intervalo é de 99 % de confiança...

1 - α = 0,99 α = 0,01

z 1 - α 2 = z 995

Aí você tem que procurar no interior da tabela da Normal pelo 0,995 e achar qual z que dá ele (ou o mais próximo dele), cruzando as linhas e colunas. Vou usar...

z = 2,58

Passo 4

Agora a gente calcular o d ...

d = 2,58 × 50 100

d = 12,9

E o intervalo:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

I C = 200 - 12,9   ; 200 + 12,9

I C = 187,1   ; 212,9

Seu resultado pode variar dependendo de como você arredondar... mas acho que como a gente tá falando de m g (que já é algo pequeno), parar na primeira casa tá bom.

A interpretação que a gente pode dar é que a média de m g de cloreto produzido em todos os procedimentos estará dentro desses limites do intervalo, com nível de confiança de 99 % .

Passo 5

(b)

O exercício diz que agora o procedimento mudou e o σ dado no enunciado não é mais válido.

Já tá ligado o que que muda agora? A gente vai continuar tendo que fazer um intervalo de confiança pra média de cloreto produzido, só que agora a gente tá naquele segundo caso ali óh... quando a gente não conhece o σ .

O exercício dá pra gente alguns dados de uma amostra desse novo procedimento...

n = 51

x ¯ = 250   m g

s = 60   m g

E vamos fazer nosso intervalo de confiança pra média com 99 % .

Passo 6

Nosso intervalo continua tendo o mesmo formato:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

Só que agora o d muda:

d = t 1 - α 2 . s n

Ao invés da gente usar a Normal, vamos usar t   d e   s t u d e n t ... justamente porque a gente não conhece o σ .

Passo 7

Vamos calcular t 1 - α 2 .

1 - α = 0,99 α = 0,01

t 1 - α 2 = t 0,995

Falta mais uma coisa pra t   d e   s t u d e n t .... o grau de liberdade!

υ = n - 1 = 51 - 1 = 50

Aí você cruza a linha do 50 com a coluna 0,995 na tabela t   d e   s t u d e n t e acha o valor que a gente quer.... MAS OPA! Não tem linha do 50 ..

Iéh, mas lembra? Quando n é muito grande, tipo n > 30 , podemos aproximar t   d e   s t u d e n t pela Normal.

t 50 ; 0,995 z 0,995

E esse valor a gente já usou na letra (a).

z 0,995 = 2,58

Passo 8

Temos tudo, só correr pro abraço!

d = t 1 - α 2 . s n

d = 2,58 × 60 51

d 21,7

E aí:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

I C = 250 - 21,7   ; 250 + 21,7

I C = 228,3   ; 271,7

Passo 9

(c)

Primeiro vamos relembrar qual o intervalo que a gente tem pras médias de cloreto produzido nos dois experimentos.

Pro velho experimento:

I C = 187,1   ; 212,9

Pro novo experimento:

I C = 228,3   ; 271,7

O exercício pergunta se a gente acredita que o novo procedimento vai produzir cloreto com uma média diferente da do velho experimento? Sim, né?

Se você reparar não existe interseção entre os dois intervalos, são totalmente diferentes. Então teoricamente os valores que as duas médias podem ter são totalmente diferentes, não tem como as duas médias serem iguais.

Concorda?

A pergunta que não quer calar é: qual o nível de confiança disso que eu estou falando? Com que certeza eu posso afirmar que as médias vão ser diferentes?

Vem comigo!

Passo 10

Os intervalos de confiança estão relacionados a um nível de confiança, certo? No nosso caso os dois são de 99 % de confiança.

Esse valor representa a probabilidade da média realmente ficar dentro do intervalo que a gente calculou.

E pra gente garantir que as médias dos procedimentos vão ser diferentes, a gente tem que garantir que as médias realmente vão ficar dentro dos intervalos que a gente calculou, já que esses intervalos não tem interseção, certo? Aceitou isso?

Vou chamar de:

V μ   d o   v e l h o   p r o c e d i m e n t o   r e a l m e n t e   e s t a r   d e n t r o   d o   i n t e r v a l o   187,1   ; 212,9 m g  

N μ   d o   n o v o   p r o c e d i m e n t o   r e a l m e n t e   e s t a r   d e n t r o   d o   i n t e r v a l o   228,3   ; 271,7 m g

Preciso garantir que os dois eventos, V e N , aconteçam.

P V N =   ?

Passo 11

Aí vem o último passo, o exercício diz que os procedimentos são independentes.

Daí:

P V N = P V × P N

E a gente viu que:

P V = P N = 0,99

Então a certeza com que a gente pode afirmar que as médias serão diferentes é:

= 0,99 × 0,99

= 98,01 %

Resposta

a   I C = 187,1   ; 212,9

b   I C = 228,3   ; 271,7

c   98,01 %

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