Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

A força de compressão do concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 8   corpos de prova e obtém os seguintes dados:

2216       2237       2249       2204       2225       2301       2281       2263

  1. Construa um intervalo de 95 % de confiança para a força média.
  2. Construa um intervalo de 95 % de confiança para a força média, supondo que σ = 36 .

Passo 1

(a)

Primeiro vamos fazer um intervalo de confiança sem conhecer o valor de σ , então vamos ter que calcular s a partir da amostra e usar t   d e   s t u d e n t . Nosso IC terá a seguinte cara:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Passo 2

Calcular a média amostral:

x ¯ = 2216 + 2237 + 2249 + 2204 + 2225 + 2301 + 2281 + 2263 8 = 2247

Calcular s :

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

s 2 = 1104

s = 33

Passo 3

Calcular t 1 - α 2 :

1 - α = 0,95

α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

Olhando na tabela t   d e   s t u d e n t , com 7 graus de liberdade, já que n = 8 .

t 0,975 = 2,365

Passo 4

Agora é só juntar pra montar o intervalo.

t 1 - α 2 × s n = 2,365 × 33 8 ≅ 28

O intervalo finalmente:

I C = 2247 - 28   ,   2247 + 28

I C = 2219   ; 2275

Passo 5

(b)

Agora já sabendo o valor de σ fica mais fácil ainda, molezinha.

Nosso intervalo fica com a seguinte cara:

I C = x ¯ - z 1 - α 2 ⋅ σ n   ;   x ¯ + z 1 - α 2 ⋅ σ n

Vamos usar a tabela da Normal.

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 6

Agora teremos:

z 1 - α 2 ⋅ σ n = 1,96 × 36 8 ≅ 25

E o intervalo fica sendo:

I C = 2247 - 25   ; 2247 + 25

I C = 2222   ; 2272

Resposta

a   I C = 2219   ; 2275

b   I C = 2222   ; 2272

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