Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

P2- 2013.2 – UFRJ - Intervalo de Confiança – T de Student

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional ( 177,66 ; 185,5 ) (em c m ).

  1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
  2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
  3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a 9   c m ?

Passo 1

(a)

A gente tem o intervalo de confiança dado já para a média populacional.

I C = 177,66 ; 185,5

A gente sabe que o intervalo é assim:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

Então:

x ¯ - d = 177,66

x ¯ + d = 185,5

Somando as duas equações:

2 x ¯ = 363,16

x ¯ = 181,58

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo a gente encontra d .

181,58 - d = 177,66

d = 3,92

Sabendo que a gente não conhece σ , a gente saca que esse intervalo é com σ desconhecido, e que com isso, a fórmula de d   é:

d = t 1 - α 2 . s n

Como 1 - α = 0,95 → α = 0,05 .

Usando a tabela de t   d e   s t u d e n t com 15 graus de liberdade ( n - 1 ) , encontramos que:

t 0,975 = 2,13

Substituindo os valores podemos encontrar a estimativa que a gente quer pro desvio padrão, que é o s .

s = 3,92 × 16 2,13 = 7,3615

Passo 3

(b)

A gente sabe que o intervalo é:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

E que:

d = t 1 - α 2 . s n

Sabemos também que:

s = 7,3615   ,     n = 16   ,     x ¯ = 181,58

A única diferença é que agora:

1 - α = 0,99 → α = 0,01

t 0,995 = 2,95

que eu fiz usando a tabela t   d e   s t u d e n t .

Passo 4

Agora é só jogar na fórmula:

d = 2,95 × 7,3615 4 ≈ 5,43

Nosso intervalo então será:

I C = 181,58 - 5,43   ; 181,58 + 5,43

I C = ( 176,15   ; 187,01 )

Passo 5

(c)

Agora temos que σ = 9 . Conhecendo σ podemos usar a Normal.

Temos também que:

1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 0,995 = 2,58

Passo 6

A amplitude inicial que temos é 185,5 - 177,66 = 7,84 e queremos mantê-la neste caso. Concorda comigo que a amplitude é igual a duas vezes o valor de d ? Beleza, então:

7,84 = 2 . d

7,84 = 2 . z 1 - α 2 . σ n

Continua valendo que 1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 0,995 = 2,58

Lembrando que agora podemos usar a Normal, já que conhecemos σ .

Substituindo os valores descobrimos o n .

7,84 = 2   .   2,58 . 9 n

n = 2   .   2,58   .   9 7,84 2

n = 36

Resposta

a   x ¯ = 181,58   ,   s = 7,3615

b   I C = ( 176,15   ; 187,01 )

c   n = 36

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