Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Uma amostra aleatória de tamanho 16 de uma população normal com média µ e variância σ² resultou em ∑ i = 1 16 x i = 24 e ∑ i = 1 16 x ² i = 36,5822 . Construa um intervalo de confiança de 95% para média populacional µ se a variância populacional

a) σ ² = 0,04 ;

b) não é conhecida.

Passo 1

a) σ ² = 0,04 ;

Cara, ele quer que a gente faça um intervalo de confiança de 95% para média, e temos que a variância populacional é conhecida.

Nesse caso, usaremos:

X - ± z α 2 σ n

Pra calcular a média amostral, basta dividirmos o somatório de todos os nossos x i por n = 16 . Logo, temos que:

X - = 24 16 = 1,5

Passo 2

Como vamos ter confiança de 95%, temos que:

1 - α = 0,95

E portanto, temos α = 0,05 .

Nosso z 1 - α 2 será z 0,975 . Basta irmos na tabela, e procurar qual valor de z nos dá 0,975 de probabilidade. Olhando na nossa querida tabela normal, temos que z 0,975 = 1,96 .

Como a questão já nos deu a variância populacional, σ ² = 0,04 , temos σ = 0,2 .

Passo 3

Agora já podemos montar nosso intervalo de 95% de confiança para média populacional!

X - ± z α 2 σ n = 1,5 ± 1,96 × 0,2 16 = 1,5 ± 0,098

Logo, nosso intervalo é dado por:

[ 1,402 ; 1,598 ]

Passo 4

b) não é conhecida.

Como agora a variância populacional não é conhecida, e temos n = 16 < 30 , saímos da tabela normal e vamos para a t-student!

E aqui usaremos:

X - ± t α 2 , n - 1 s n

O primeiro passo é descobrirmos qual valor pegaremos na tabela t.

Continuamos com α = 0,05 , portanto vamos procurar t 0 , 025,15 ! E esse valor na tabela é 2,131.

Passo 5

Outra coisa que precisamos descobrir é o nosso s , ou seja, nosso desvio-padrão amostral. Faremos isso pela fórmula da variância amostral:

s ² = ∑ x ² i - n ∙ x - ² n - 1 = 36,5822 - 16 × 1,5 ² 15 = 0,0388

s = 0,0388 = 0,197

Passo 6

Agora que já temos todos os dados que precisávamos, vamos substituir na fórmula do intervalo de confiança e partir pro abraço!

X - ± t α 2 , n - 1 s n = 1,5 ± 2,131 × 0,197 16 = 1,5 ± 0,105

Logo, temos que nosso intervalo com 95% de confiança é:

[ 1,395 ; 1,605 ]

Resposta

a) [1,402; 1,598]

b) [1,395; 1,605]

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