Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Deseja-se estimar a concentração de uma determinada substância indesejada em uma amostra de um produto químico.Devido a imprecisões do aparelho utilizado, que induzem erros de medição supostos normalmente distribuídos, são realizadas diversas repetições do experimento, implicando na obtenção das medidas:

8 ,   80         10 ,   98         11 ,   48         13 ,   42         9 ,   61 ,

expressas na unidade de ppm (partes por milhão). A fim de concatenar tais estimativas em somente uma, mais precisa, o pesquisador considera a média amostral como uma estimativa da concentração da substância indesejada, e para estudar a qualidade da estimação ele considera intervalos de confiança. Para isso, faça o que se pede abaixo:

(a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média amostral supondo que σ   =   2 , ou seja, a incerteza introduzida pelo equipamento é conhecida.

Passo 1

Letra a)

Intervalo de confiança para média amostral com desvio padrão populacional conhecido! Nesses casos os limites inferiores e superiores do nosso IC são dados por:

I C =   x - - z 1 - α 2 × σ n   ;   x - + z 1 - α 2 × σ n

E dessa galera toda dentro da fórmula a gente já conhece o desvio padrão populacional:

σ = 2

E o tamanho da amostra:

n = 5

Precisamos agora descobrir o valor da média amostral x - e do z 1 - α 2 !

Passo 2

Vamos calcular nossa média amostral:

x - = ∑ x i n = 8 ,   80 + 10 ,   98 + 11 ,   48 + 13 ,   42 + 9 ,   61 5 = 10,86

E agora z 1 - α 2 . Mas antes, precisamos calcular nosso nível de significância α . Na questão, é pedido um nível de confiança de 95% para o IC, isso significa que:

1 - α = 0,95

α = 0,05

Então:

z 1 - α 2 = z 0,975

Procurando 0 , 975 no corpo da nossa tabela da Normal, verificamos que:

z 0,975 = 1,96

Show! Agora podemos aplicar todos esses valores que a gente conhece na fórmula do IC:

I C =   x - - z 1 - α 2 × σ n   ;   x - + z 1 - α 2 × σ n =   10,86 - 1,96 × 2 5   ;   10,86 + 1,96 × 2 5

I C = ( 9,10   ; 12,61 )

Resposta

Letra a)

I C = ( 9,10   ; 12,61 )

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