Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Um disparador de partículas realiza o lançamento de partículas idênticas e o tempo com que essas partículas percorrem uma certa distância é normalmente distribuído com média e variância desconhecidas. Com objetivo de estudar propriedades desse disparador, foram lançadas 25 partículas e computado o tempo, em segundos, que cada uma delas levou para percorrer uma distância D . Esses dados seguem abaixo:

9 ,   12 ,   13 ,   15 ,   15 ,   17 ,   18 ,   18 ,   18 ,   19 ,   19 ,   20 ,   20 ,   21 ,   22 ,   24 ,   24 ,   24 ,   25 ,   26 ,   26 ,   27 ,   29 ,   31 ,   33

Denotando por x i as medições acima, temos: ∑ i = 1 25 x i = 525 e ∑ i = 1 25 x i 2 = 11877 .

  1. Construa um intervalo de 95 % de confiança para o tempo médio com que as partículas lançadas percorrem essa distância D . Interprete o significado do intervalo obtido.

Obs.: Note que é possível relacionar quartis com proporções.

Passo 1

(a)

Vamos construir um intervalo de confiança para o tempo médio que a partículas precisam pra percorrer a distância D .

A gente não conhece o desvio padrão σ , isso significa que vamos fazer um ic para média usando t   d e   s t u d e n t .

Esse intervalo tem a seguinte cara:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

Com:

d = t 1 - α 2 . s n

Passo 2

Primeiro vamos calcular x ¯ e s .

Pra isso vamos usar esses dados que o problema deu pra gente, que vão facilitar as contas...

x ¯ = ∑ x i n

= 525 25

x ¯ = 21

E:

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

= 11877 - 25 × 21 2 24

s 2 = 35,5

s = 5,96

Passo 3

Agora vamos calcular d .

d = t 1 - α 2 . s n

Pra isso falta t 1 - α 2 .

O intervalo é de 95 % , então:

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

Como n = 25 , vamos ter 24 graus de liberdade.

Olhando na tabela t   d e   s t u d e n t então:

t 0,975 ; 24 = 2,064

Passo 4

Agora sim o d ...

d = t 1 - α 2 . s n

d = 2,064 × 5,96 5

d ≅ 2,46

E daí o intervalo:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

I C = 21 - 2,46   ; 21 + 2,46

I C = 18,54   ; 23,46

Resposta

a   I C = 18,54   ; 23,46

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