Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Numa indústria foi colhida uma amostra de 40 peças cilíndricas, as quais depois de examinadas apresentaram os seguintes diâmetros (em cm).

1,1   1,1   1,1   1,1   1,1   1,1   1,2   1,2   1,2   1,2   1,2   1,2   1,2   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3  

1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,3   1,4   1,4   1,4   1,4   1,4   1,4   1,4   1,5   1,5   1,5   1,5   1,6   1,6   1,6  

Informamos também que ∑ i = 1 40 x i = 52,5 ; ∑ i = 1 40 x i 2 = 69,71 .

(a) Construir um intervalo de confiança (IC) para o diâmetro médio populacional ao nível de 95 % .

Passo 1

(a)

Vamos fazer um I C para o diâmetro médio, sendo que a gente não conhece o desvio padrão populacional σ ... então estamos no caso em que o intervalo tem o formato:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

Com:

d = t 1 - α 2 . s n

Usando t   d e   s t u d e n t e o desvio padrão amostral s .

Passo 2

Primeiro vamos calcular os dados amostrais... x ¯ e s .

x ¯ = ∑ x i n

= 52,5 40

x ¯ = 1,3125

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

= 69,71 - 40 × 1,3125 2 39

s 2 = 0,0206

s = 0,144

Passo 3

Agora vamos calcular t 1 - α 2 ... só que como o n = 40 é muito grande podemos aproximar pela normal mesmo e calcular o intervalo com z 1 - α 2 .

O nível de confiança é de 95 % ...

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975

Usando a tabela da Normal:

z 0,975 = 1,96

Passo 4

Já temos tudo, podemos calcular nosso intervalo...

d = t 1 - α 2 . s n

d = 1,96 × 0,144 40

d = 0,0445

E então:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

I C = 1,3125 - 0,0445   ; 1,3125 + 0,0445

I C = 1,268   ; 1,357

Resposta

I C = 1,268   ; 1,357

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