Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas.

Seja X = ( 3 ,   7 ,   2 ,   4 ,   4 ,   9 ,   6 ,   8 ,   5 ,   2 ) , uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população:

Pede-se:

  1. O intervalo de confiança ao nível de significância de 70 % e 90 % , para a " μ " .

Passo 1

(a)

Aqui teremos que fazer o intervalo de confiança duas vezes para a média. Sendo que a gente não conhece o valor do desvio padrão σ .

Nesse caso, a gente sabe que vai usar t   d e   s t u d e n t e vamos ter que calcular a média o desvio padrão da amostra que nos deram.

Nosso I C terá a seguinte cara:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Passo 2

Vamos calcular x ¯ e s :

x ¯ = 3 + 7 + 2 + 4 + 4 + 9 + 6 + 8 + 5 + 2 10 = 5

s 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1

n = 10

s = 6

Passo 3

Primeiro vamos fazer o intervalo de 90 % de confiança.

Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,9

α = 0,1

t 1 - α 2 = t 0,95

Vamos ter n - 1 = 9 graus de liberdade.

Olhando na tabela t   d e   s t u d e n t :

t 0,95 ; 9 = 1,833

Passo 4

Podemos montar nosso intervalo de confiança para 90 % de confiança.

I C = 5 - 1,833 × 6 10   ,   5 + 1,833 × 6 10

I C = 3,58   ; 6,42

Passo 5

vamos fazer o intervalo de 70 % de confiança.

Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,7

α = 0,3

t 1 - α 2 = t 0,85

Vamos ter n - 1 = 9 graus de liberdade.

Olhando na tabela t   d e   s t u d e n t , temos que interpolar os valores referentes a 0,8 e 0,9 , ficando com o valor do meio.

t 0,85 ; 9 = 1,1

Passo 6

Podemos montar nosso intervalo de confiança para 7 0 % de confiança.

I C = 5 - 1,1 × 6 10   ,   5 + 1,1 × 6 10

I C = 4,148   ; 5,852

Resposta

a   I C = 4,148   ; 5,852 → 70 %         e       I C = 3,58   ; 6,42 → 90 %

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