Exercícios Resolvidos de Introdução à Condução

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Enunciado

(Adaptada) Considere o problema de condução unidimensional numa parede plana de largura L = 0,5   m e altura 2   m , com uma extremidade isolada e a outra mantida a temperatura igual a 100 ° C .

A parede tem condutividade térmica igual a 0,7   W / m . K , e no seu interior passa uma resistência elétrica que gera calor uniformemente a uma taxa de 100   W / m 3 .

Escreva a equação de condução de calor e as condições de contorno apropriadas para essa situação. Em seguida, obtenha a distribuição de temperatura ao longo da parede e desenhe um gráfico (qualitativo) da temperatura x distância para a situação analisada.

Passo 1

A equação de calor é dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Sabendo que a condução é unidimensional e supondo regime permanente, teremos:

d d x k d T d x + q ˙ = 0

Além disso, supondo que as propriedades do material sejam as mesmas em qualquer ponto da placa, teremos:

k d 2 T d x 2 + q ˙ = 0

d 2 T d x 2 + q ˙ k = 0

O problema nos disse que uma extremidade da placa é isolada termicamente, e a outra mantida a temperatura igual a 100 ° C .

Assim, as condições de contorno serão:

T 0 = 100 ° C

∂ T ∂ x x = L = 0

Passo 2

Resolvendo a equação diferencial que encontramos, teremos:

d 2 T d x 2 + q ˙ k = 0

d 2 T d x 2 = - q ˙ k = - 100 0,7

d 2 T d x 2 = - 142,86

Integrando a equação em x :

d T d x = - 142,86 x + C 1

Aplicando a condição de contorno de superfície isolada termicamente, teremos:

∂ T ∂ x x = L = 0 → 0 = - 142,86 . L + C 1

C 1 = 142,86 . L = 142,86.0,5

C 1 = 71,43

d T d x = - 142,86 x + 71,43

Integrando novamente em x :

T x = - 142,86 . x 2 2 + 71,43   x + C 2

T x = - 71,43   x 2 + 71,43   x + C 2

Aplicando a condição de contorno de temperatura constante:

T 0 = 100 ° C → 100 = - 71,43 . 0 2 + 71,43.0 + C 2

C 2 = 100

Assim, a distribuição de temperatura será dada por:

T x = - 71,43   x 2 + 71,43   x + 100

Passo 3

Pra analisar esse perfil de forma qualitativa, vamos dar uma olhada na função que descreve a temperatura. A temperatura é uma função de segundo grau em relação a x , então será uma parábola. Como o termo do x 2 é negativo, a concavidade é para baixo.

Podemos fazer uma análise mais quantitativa, já que sabemos que, em x = 0,5   m , na extremidade da parede, T ≅ 1 18 ° C .

Um esboço de T versus x pode ser feito assim:

Resposta

Equação de calor:

d 2 T d x 2 + q ˙ k = 0

T 0 = 100 ° C

∂ T ∂ x x = L = 0

Distribuição de temperatura:

T x = - 71,43   x 2 + 71,43   x + 100

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