Exercícios Resolvidos de Introdução ao escoamento em canais abertos

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Cinco tubos de esgoto, cada um com 2 m de diâmetro e feitos de argila, funcionam a meia seção, com uma declividade de 0,25°, descarregando em um único tubo feito de asfalto, também com declividade de 0,25°. Se o tubo maior também deve funcionar a meia seção, qual deverá ser seu diâmetro?

Passo 1

Neste probleminha, as coisas continuam parecidas com os outros exercícios.

Calcularemos o raio hidráulico, velocidade... Mas como a vazão deve ser constante, poderemos calcular o diâmetro necessário do tubo maior.

Vamos com calma e uma hora a gente chega lá.

Vamos começar com o raio hidráulico

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para isso devemos montar a expressão do raio:

R h = A P m

Como o tubo está “meio-cheio” ou “meio-vazio” dependendo de quão otimista você é:

R h = π R 2 2 2 π R 2 = R 2

Logo

R h = D 2 2 = 2 2 2 = 0,5   m

Passo 3

A vazão de cada tubo é dada por:

Q = V A

Onde V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

Como são cinco tubos de esgoto:

Q = 5 V A = 5 R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n A

Substituindo o que conhecemos:

Q = 5 0,5 2 / 3 tan ⁡ 0,25 ° 1 / 2 n π R ² 2

Sendo R = 1   m e n = 0,014 , supondo que o fundo seja de tijolos de argila, o exercício não deixou claro:

Q = 5 0,5 2 / 3 tan ⁡ 0,25 ° 1 / 2 0,014 π × 1 ² 2

Logo

Q = 23,34   m ³ / s

Passo 4

Agora faremos o mesmo processo só que meio que ao contrário, saíremos da vazão para o raio, vamos montar uma expressão pra isso, chega mais!

Sabemos que

Q = V A

E que

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

E

A = π R ² 2

Substituindo na expressão da vazão:

Q = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n π R ² 2

Vimos que para um tubo circular “meio-cheio”:

R h = R / 2

Logo

Q = R / 2 2 / 3 S 0 1 / 2 n π R ² 2

Rearrumando os termos:

Q = π S 0 1 / 2 R ² R 2 / 3 2 × 2 2 / 3 n = π S 0 1 / 2 R 8 / 3 2 5 / 3 n

Passo 5

Como queremos R , devemos colocar R de um lado e todos termos do outro:

R 8 / 3 = 2 5 / 3 n Q π S 0 1 / 2

Elevando ambos os lados a 3 / 8 :

R 8 / 3 3 / 8 = 2 5 / 3 n Q π S 0 1 / 2 3 / 8

R = 2 5 / 8 n Q π S 0 1 / 2 3 / 8

Substituindo tudo que conhecemos:

R = 2 5 / 8 0,016 × 23,34 π tan ⁡ 0,25 ° 1 / 2 3 / 8

R = 1,92   m

D = 2 R = 3,84   m

Resposta

D = 3,84   m

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