Exercícios Resolvidos de Introdução aos Números Complexos

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Enunciado

Em cada um dos itens, indique a parte real, a parte imaginária e o módulo do número complexo. É um imaginário puro?

a   z = 2 + 3 i

b   z = 4 - i

c   z = 25 i

d   z = 13

Passo 1

FAAAAAALA AÍ, chuchu! Beleza?!

Essa questão fala sobre números complexos (Jura?), mas especificamente sobre a parte real, a parte imaginária e o módulo de um complexo! Então, deixe-me refrescar sua memória quanto a isso!

Se temos um complexo da forma:

z = a + b i

Segue que a parte real é:

R e z = a

Um caso especial é que se a = 0 , então z = b i e dizemos que é um imaginário puro.

A parte imaginária é:

I m z = b

E o seu módulo é dado pela expressão:

z = a 2 + b 2

Finalmente, bora começar!

Passo 2

a   z = 2 + 3 i

Bom, a parte real é aquela que NÃO acompanha o i :

R e z = 2

E a parte imaginária é quem acompanha o i :

I m z = 3

Perceba que como R e z ≠ 0 , então esse complexo não é um imaginário puro!

Calculando o módulo:

z = 2 2 + 3 2 ⇒   z = 4 + 9 ⇒   z = 13

Passo 3

b   z = 4 - i

Bom, a parte real é aquela que NÃO acompanha o i :

R e z = 4

E a parte imaginária é quem acompanha o i :

I m z = - 1

Perceba que como R e z ≠ 0 , então esse complexo não é um imaginário puro!

Calculando o módulo:

z = 4 2 + - 1 2 ⇒   z = 16 + 1 ⇒   z = 1 7

Passo 4

c   z = 25 i

Bom, a parte real é aquela que NÃO acompanha o i :

R e z = 0

E a parte imaginária é quem acompanha o i :

I m z = 25

Perceba que como R e z = 0 , então esse complexo é um imaginário puro!

Calculando o módulo:

z = 0 2 + 25 2 ⇒   z = 625 ⇒   z = 25

Passo 5

d   z = 13

Bom, a parte real é aquela que NÃO acompanha o i :

R e z = 13

E a parte imaginária é quem acompanha o i :

I m z = 0

Perceba que como R e z ≠ 0 , então esse complexo não é um imaginário puro! Além disso, I m z = 0 , então podemos dizer que é um número real.

Calculando o módulo:

z = 13 2 + 0 2 ⇒   z = 169 ⇒   z = 13

Resposta

a   R e z = 2 ,   I m z = 3 ,   z = 13 . Não é imaginário puro.

b   R e z = 4 ,   I m z = - 1 ,   z = 1 7 . Não é imaginário puro.

c   R e z = 0 ,   I m z = 25 ,   z = 25 . É imaginário puro.

d   R e z = 13 ,   I m z = 0 ,   z = 13 . Não é imaginário puro, é um número real.