Exercícios Resolvidos de Introdução aos Números Complexos

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Enunciado

Dado o complexo abaixo:

z = 2 3 + 2 i

Determine:

a   z -

b   z   e   | z - |

c   θ 1 = arg ⁡ z e   θ 2 = arg ⁡ ( z - ) .

d A forma trigonométrica de z e de z - .

e A forma polar de z e de z - .

Passo 1

Faaaala, meu raio de Sol! Bora começar do começo!

a   z -

Opa! Surgiu finalmente um conjugado! Você lembra o que ele é?

Dado um complexo:

z = a + b i

O conjugado será:

z - = a - b i

Bom, então no nosso caso:

z = 2 3 + 2 i

z - = 2 3 - 2 i

Passo 2

b   z   e   z -

Vamos começar calculando o primeiro módulo:

z = 2 3 + 2 i

z = 2 3 2 + 2 2 = 12 + 4 = 16 = 4

Agora vamos calcular o outro módulo:

z - = 2 3 - 2 i

z - = 2 3 2 + - 2 2 = 12 + 4 = 16 = 4

Opa! Os dois são iguais!

Que bom, né? Pois tem que ser assim! Então se você encontrar módulos diferentes, volte e veja aonde você errou 😉

z = z -

Passo 3

c   θ 1 = arg ⁡ z e   θ 2 = arg ⁡ z -

Bom, vamos começar achando θ 1 . Sabemos que:

z = 2 3 + 2 i

tg ⁡ θ 1 = 2 2 3 = 1 3 = 3 3

Precisamos pensar em ângulos de 0 a 2 π que possuam tangente igual a 3 3 :

30 ° = π 6   e   210 ° = 7 π 6

Mas perceba que como a parte real é positiva e a parte imaginária também, então estamos no primeiro quadrante! Logo, θ 1 = π 6

Agora vamos em busca de θ 2 :

z - = 2 3 - 2 i

tg ⁡ θ = - 2 2 3 = - 1 3 = - 3 3

Precisamos pensar em ângulos de 0 a 2 π que possuam tangente igual a - 3 3 :

150 ° = 5 π 6   e   330 ° = 11 π 6

Mas perceba que como a parte real é positiva e a parte imaginária é negativa, temos que estar no quarto quadrante! Logo, θ 2 = 11 π 6 .

Perceba que:

11 π 6 = - π 6

Ou seja:

θ 2 = - θ 1

Essa relação vale sempre! De agora em diante você nem precisa calcular, basta usar essa relação!

Passo 4

d A forma trigonométrica de z e de z - .

A forma trigonométrica de um complexo do tipo z = a + b i é:

z = z c i s θ = z cos ⁡ θ + i s e n θ

Onde:

z = a 2 + b 2

θ = a r g ⁡ ( z )

Começando com z = 2 3 + 2 i . Já calculamos seu módulo e argumento, então:

z = 4

arg ⁡ z = θ 1 = π 6

Escrevendo z na forma trigonométrica:

z = 4 cos ⁡ π 6 + i s e n π 6

E agora vamos escrever z - na forma trigonométrica, sabendo que:

z - = 4

arg ⁡ z - = θ 2 = - π 6

Escrevendo z - na forma trigonométrica:

z - = 4 cos ⁡ - π 6 + i s e n - π 6

Porém, lembre-se de que cos ⁡ - x = c o s ⁡ ( x ) e s e n - x = - s e n ( x ) . Então:

z - = 4 cos ⁡ π 6 - i s e n π 6

Passo 5

Finalmente, porém não menos importante, vamos ao último item:

e A forma polar de z e de z - .

Para você que ainda não tem essa forma gravada, olha só como ela é:

z = a + b i → z = r e i θ

Onde:

r = a 2 + b 2

θ = arg ⁡ z

Começando por z , temos que r = z = 4 e arg ⁡ z = θ 1 = π 6 :

z = 4 e i π 6

Agora escrevendo na forma polar o z - , sabendo que r = z - = 4 e arg ⁡ z - = θ 2 = - π 6 :

z - = 4 e i - π 6

Resposta

a   z - = 2 3 - 2 i

b   z = z - = 4

c   θ 1 = π 6   e   θ 2 = - π 6

d   z = 4 cos ⁡ π 6 + i s e n π 6   e   z - = 4 cos ⁡ π 6 - i s e n π 6

e   z = 4 e i π 6   e   z - = 4 e i - π 6