Exercícios Resolvidos de Introdução aos Números Complexos

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Enunciado

Represente os seguintes números complexos na forma polar:

a   z = 3 - 3 i

b   z = 4 + 12 3 i

Passo 1

Bom, colocar complexos na forma polar é fazer:

z = a + b i → z = r e i θ

Onde:

r = z = a 2 + b 2

Então ele é equivalente a forma trigonométrica, só que aqui utilizamos a identidade de Euler:

e i θ = c i s θ = cos ⁡ θ + i s e n θ

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

a   z = 3 - 3 i

Primeiramente, precisamos do seu módulo:

r = z = 3 2 + - 3 2 = 9 + 9 = 3 2

Agora vamos em busca do seu argumento:

θ = arg ⁡ z

tg ⁡ θ = - 3 3 = - 1

Precisamos pensar nos ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente igual a - 1 . Eles são:

135 ° = 3 π 4   e   315 ° = 7 π 4

Porém, perceba que representando nosso complexo graficamente:

Então θ = 7 π 4 e a representação polar do complexo será:

z = 3 2   e i 7 π 4

Passo 3

b   z = 4 + 12 3 i

Primeiramente, precisamos do seu módulo:

r = z = 4 2 + 12 3 2 = 16 + 144 3 = 192 3 = 64 = 8

Agora vamos em busca do seu argumento:

θ = arg ⁡ z

tg ⁡ θ = 12 3 4 = 12 4 3 = 3 3 = 3

Precisamos pensar nos ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente igual a 3 . Eles são:

60 ° = π 3   e   240 ° = 4 π 3

Porém, perceba que representando nosso complexo graficamente:

Então θ = π 3 e a representação polar do complexo será:

z = 8 e i π 3

Resposta

a   z = 3 2 e i 7 π 4

b   z = 8 e i π 3