Exercícios Resolvidos de Introdução aos Números Complexos

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Enunciado

Dados os complexos a seguir, determine o módulo e o argumento dos respectivos, além de representa-los no plano complexo de Argand-Gauss.

a   z = 1 + i

b   z = - 1 + 3 i

Passo 1

Faaaaala aí, melhor aluno de Pré-Cálculo! Para resolver essa questão, vamos precisar lembrar da fórmula de módulo e argumento, mas não se preocupe, porque eu estou aqui para isso hahaha

Dado um complexo da forma:

z = a + b i

Onde a , b são reais, temos que:

z = a 2 + b 2

E além disso:

θ = a r g ⁡ ( z )

tg ⁡ θ = b a

E sua representação no plano Argand-Gauss:

Passo 2

Bora começar do começo!

a   z = 1 + i

Vamos começar representando esse complexo no gráfico, para que fique melhor a visualização:

Bom, para calcular o módulo, temos que:

z = a + b i ⇒   z = a 2 + b 2

Então:

z = ( 1 ) 2 + - 1 2 = 2

Agora que achamos o módulo, vamos em busca da última coisa: o argumento!

θ = a r g ⁡ ( z )

tg ⁡ θ = b a

Segue que:

tg ⁡ θ = 1 1 = 1

Então os ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente igual a 1 são:

45 ° = π 4   e   225 ° = 5 π 4

Porém, repare que nosso argumento está no primeiro quadrante, já que ele é o ângulo entre o eixo real e o segmento da origem ao complexo.

Então θ = 45 ° = π 4 .

Passo 3

b   z = - 1 + 3 i

Vamos começar representando esse complexo no gráfico, para que fique melhor a visualização:

Bom, para calcular o módulo, temos que:

z = a + b i ⇒   z = a 2 + b 2

Então:

z = ( - 1 ) 2 + 3 2 = 1 + 3 = 4 = 2

Agora que achamos o módulo, vamos em busca da última coisa: o argumento!

θ = a r g ⁡ ( z )

tg ⁡ θ = b a

Segue que:

tg ⁡ θ = - 3 1 = - 3

Então os ângulos de 0 a 2 π que possuem tangente igual a - 3 são:

120 ° = 2 π 3   e   300 ° = 5 π 3

Porém, repare que nosso argumento está no segundo quadrante, já que ele é o ângulo entre o eixo real e o segmento da origem ao complexo.

Então θ = 120 ° = 2 π 3 .

Passo 4

Resposta

a   z = 2 , arg ⁡ z = π 4

b   z = 2 , arg ⁡ z = 2 π 3