Exercícios Resolvidos de Introdução aos vetores e as matrizes

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Enunciado

Sejam a → = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b → = ( b 1 , b 2 , b 3 ) e c → = ( c 1 , c 2 , c 3 ) vetores do espaço tais que a → e b → são vetores unitários e ortogonais entre si e c → = b → × a → . Então o valor de

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3

É igual a:

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. 1/3
  5. -1/3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar e resolver passo a passo com você! O problema nos deu três vetores:

a → = a 1 , a 2 , a 3 ;     b → = b 1 , b 2 , b 3 ;     c → = ( c 1 , c 2 , c 3 )

e nos disse que c → = b → × a → . E perguntou qual é o valor de

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3

Então a ideia é calcular quem é esse vetor c → , e calcular esse determinante e torcer para encontrarmos algo parecido.

Como os vetores a → e b → são unitários, o vetor c → também será, e podemos ter uma expressão para o módulo de c → , em termos das componentes de a → e b → , para comparar com o determinante dado.

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor c → e seu módulo:

c → = b → × a → = i ^ j ^ k ^ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 = i ^ a 3 b 2 - a 2 b 3 + j ^ a 1 b 3 - a 3 b 1 + k ^ ( a 2 b 1 - a 1 b 2 )

Beleza? E agora vamos calcular o módulo desse vetor:

c → = a 3 b 2 - a 2 b 3 2 + a 1 b 3 - a 3 b 1 2 + a 2 b 1 - a 1 b 2 2  

c → = a 3 2 b 2 2 + a 2 2 b 3 2 - 2 a 2 a 3 b 2 b 3

+ a 1 2 b 3 2 + a 3 2 b 1 2 - 2 a 1 a 3 b 1 b 3

+ a 2 2 b 1 2 + a 1 2 b 2 2 - 2 a 1 a 2 b 1 b 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos calcular agora aquele determinante! O determinante é:

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3

E substituindo as componentes de c → na última linha temos:

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 a 3 b 2 - a 2 b 3 a 1 b 3 - a 3 b 1 a 2 b 1 - a 1 b 2  

Agora bora calcular!

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 = b 1 a 2 a 2 b 1 - a 1 b 2 + b 2 a 3 a 3 b 2 - a 2 b 3 + a 1 b 3 a 1 b 3 - a 3 b 1

- a 2 b 3 a 3 b 2 - a 2 b 3 - a 3 b 1 a 1 b 3 - a 3 b 1 - a 1 b 2 ( a 2 b 1 - a 1 b 2 )

E agora com bastante atenção, vamos fazer essas multiplicações:

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 = a 2 2 b 1 2 - a 1 a 2 b 1 b 2 + a 3 2 b 2 2 - a 2 a 3 b 2 b 3 + a 1 2 b 3 2 - a 1 a 3 b 1 b 3 - a 2 a 3 b 2 b 3 + a 2 2 b 3 2

- a 1 a 3 b 1 b 3 + a 3 2 b 1 2 - a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 2 b 2 2

= a 3 2 b 2 2 + a 2 2 b 3 2 - 2 a 2 a 3 b 2 b 3 + a 1 2 b 3 2 + a 3 2 b 1 2 - 2 a 1 a 3 b 1 b 3 + a 2 2 b 1 2 + a 1 2 b 2 2 - 2 a 1 a 2 b 1 b 2

Então o valor do determinante encontrado foi:

det ⁡ b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3

= a 3 2 b 2 2 + a 2 2 b 3 2 - 2 a 2 a 3 b 2 b 3 + a 1 2 b 3 2 + a 3 2 b 1 2 - 2 a 1 a 3 b 1 b 3 + a 2 2 b 1 2 + a 1 2 b 2 2 - 2 a 1 a 2 b 1 b 2

Será que temos algo parecido já calculado?

Passo 4

Vamos comparar o módulo do vetor c → calculado no passo 2:

Com o valor do determinante que calculamos agora no passo 3:

E vemos que o valor é o mesmo!

Como o vetor c → é o resultado do produto vetorial entre outros dois vetores unitários, ele tem módulo1! E como o determinante tem a mesma expressão que o módulo de c → , isso significa que o determinante vale 1!

Sendo assim, a resposta correta é (a). E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( a )

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