Deformações Inelásticas e Tensões Residuais

Teoria Completa

Nesse tópico, vamos aprender sobre deformações plásticas (ou inelásticas) e sobre como elas podem levar ao surgirmento de tensões residuais σ r e s em uma peça.

Não são todos os professores que ensinam e cobram esse assunto. Se esse assunto não fizer parte da sua prova, sinta-se livre para pular ele! ⚠

Introdução

Vamos dizer que a nossa empresa de consultoria em projeto de estruturas, a Dexter Structures, foi contratada para avaliar a seguinte estrutura:

Nessa estrutura, as duas barras de aço tem o mesmo módulo de elasticidade E , o mesmo comprimento L e a mesma área de seção transversal A .

Mas elas têm uma diferença: A barra de cima tem uma tensão de escoamento σ e = 300   M P a , enquanto que a barra de baixo tem uma tensão de escoamento σ e = 150   M P a .

O motivo é que a barra de cima foi comprada de um fornecedor confiável, enquanto que a barra de baixo é de origem duvidosa:

Deformações Elástica e Plástica

Agora, vamos aplicar uma força P para baixo na placa rígida.

Por causa dessa força P , as barras vão se deformar: a barra de baixo vai ser comprimida e a barra de cima vai ser esticada:

Enquanto que as tensões σ nas barras forem menores que as tensões de escoamento σ e de cada uma, as barras vão se comportar elasticamente.

Ou seja, as deformações ε nas barras vão ser e lásticas (e reversíveis!) e as fórmulas da Lei de Hooke σ = E ε e e da variação de comprimento δ e = N L / E A vão estar valendo.

Mas...

Se o carregamento P for grande demais, a tensão na barra de baixo pode atingir a tensão de escoamento σ e = 150   M P a .

Nesse caso, a barra de baixo vai escoar: ela vai deixar de se comportar elasticamente e vai começar a se comportar plasticamente.

A partir desse momento, qualquer deformação a mais que a barra sofrer vai ser uma deformação p lástica ou inelástica ε p , que é uma deformação permanente.

Tensões Residuais

Agora, o que é que acontece se, depois da nossa barra de baixo ter sofrido uma deformação permanente, nós tirarmos o carregamento P ?

As barras vão querer voltar para os seus tamanhos originais!!

A barra de cima, que só sofreu deformação elástica/reversível, conseguiria reverter essa deformação facilmente.

Já a barra de baixo, que foi “machucada” com um pouco de deformação permanente, só conseguiria reverter a parte elástica da deformação que ela sofreu:

Mas a verdade é que essa situação da imagem acima é só como as barras gostariam de estar.

Na realidade, como elas têm que estarem conectadas entre si, elas vão acabar se tracionando mutuamente para que elas possam se “encontrar”:

Essa tração mutua vai então gerar uma tensão nas barras.

Mas essa tensão não vai estar vindo de nenhum carregamento externo. Ela vai ser tipo uma tensão fantasma que vem do próprio sistema.

Essas tensões fastasmas são o que a gente chama de tensões residuais.

Beleza! Mas eu tenho uma dúvida...

Quando é que tensões residuais acontecem?

Em outras palavras, em que outras situações eu tenho que me preocupar com elas?

Então! A boa notícia é que elas só acontecem em condições específicas, que são:

1. Você tem uma ou mais peças que estão estaticamente indeterminadas;

2. Essas peças são carregadas (ou mecanicamente, através de uma força, ou termicamente, através de uma variação de temperatura);

3. Esse carregamento é tão grande que uma das peças sofre uma deformação plástica/permanente;

4. E, após essa deformação permanente, as peças são descarregadas.

Então, você pode observar que em qualquer exercício de tensão residual, essas quatro condições vão estar acontecendo nessa ordem.

Tá... Mas eu tenho outra dúvida...

Como é que eu calculo as tensões residuais em uma peça?

Vamos ver isso agora!!

Cálculo de Tensões Residuais

Aqui na Dexter Structures nós somos práticos, então eu já vou te passar direto o bizu de calcular tensões residuais.

Primeiro eu vou te passar o método tradicional, dos livros, em quatro passos.

Depois vou passar a fórmula da tensão residual, um método acelerado, mas que infelizmente não é aceito por 100% dos professores. (Verifique se você pode usá-la!)

Método Tradicional

1. O primeiro passo é calcular as tensões σ nas peças fingindo que elas só se comportam elasticamente.

Como todo exercício de tensão residual é estaticamente indeterminado, você vai ter que usar equações de equilíbrio & equações de compatibilidade para encontrar essas tensões.

Aqui nesse primeiro passo, você está livre para usar as fórmulas de sempre como σ = E ε (Lei de Hooke) e δ = N L / E A (Variação de Comprimento Elástica).

2. Em seguida, você vai verificar se a tensão σ encontrada para alguma peça tem uma intensidade maior que a tensão de escoamento σ e da peça.

Se isso acontecer, aí você vai ter que considerar que a peça tem um comportamento elastoplástico (ou “elástico perfeitamente plástico”).

Isso significa dizer que...

Uma vez que a tensão σ na peça atingiu o limite σ e , ela passou a se deformar plasticamente de forma livre, sem haver qualquer aumento correspondente de tensão:

Dessa forma, você vai:

  • Dizer que a tensão σ calculada é impossível;
  • Definir um novo valor para σ , com a mesma intensidade da tensão de escoamento σ e ;
  • E inserir esse novo valor na fórmula σ = N / A para encontrar os novos valores correspondentes da força normal N e das reações nas peças.

Rola sim!

Vamos dizer que a gente encontrou no Passo 1 que a tensão na barra de baixo do nosso exemplo é σ = - 180   M P a .

Essa tensão tem uma intensidade maior que a tensão de escoamento σ e = 150   M P a da barra.

Então vamos dizer que essa tensão de - 180   M P a é impossível e que o novo valor de σ , igual à tensão que realmente aconteceu, é σ = - 150   M P a .

Em seguida, pegamos esse novo valor de σ e inserimos na fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Com isso, vamos conseguir definir um novo valor para a força normal N na nossa barra.

E como a força normal N pode ser descrita em função das forças de reação que o solo e o teto fazem nas barras, conseguimos também definir novos valores para essas reações.

E, se preciso, conseguimos definir também novos valores para as tensões σ em outras peças.

3. O terceiro passo é encontrar a variação de comprimento plástica δ p sofrida pela peça que atingiu sua tensão de escoamento.

Para fazer isso, você vai pegar a sua equação de compatibilidade do Passo 1 e:

  • Chamar as variações de comprimento δ antigas que seguiam o comportamento elástico de variações elásticas δ e ;
  • E adicionar a variação de comprimento plástica δ p ,

Como mostram os exemplos abaixo:

Aí, isolando a variação de comprimento plástica δ p na nova equação de compatibilidade, você consegue encontrar ela.

Aqui, você só deve tomar o cuidado de re-calcular as variações de comprimento elásticas δ e = N L / E A usando os novos valores das tensões σ , das forças normais N e das reações nas peças.

4. O último passo é calcular as tensões σ na situação final, depois que a peça foi descarregada.

Ou seja, você vai tirar o carregamento que existia na peça e refazer o Passo 1, usando equações de equilíbrio & equações de compatibilidade para determinar as tensões na peça.

Aí, como a variação de comprimento plástica δ p encontrada no passo anterior é permanente, ela deve fazer parte da equação de compatibilidade nessa situação final.

Finalmente, as tensões σ que você encontrar aqui vão ser as tensões residuais σ r e s nas peças.

Fórmula da Tensão Residual

Olhando para esse método tradicional de resolução de exercícios de tensão residual, ele parece bem longo, né?

Então, eu vou te passar agora o segredo industrial da Dexter Structures! 🐵

Sabe como no Passo 1, a gente encontrou as tensões σ que aconteceriam caso as peças só se comportassem elasticamente?

Vamos chamar as tensões nessa situação hipotética de σ ' .

E sabe como no Passo 2, a gente definiu as tensões reais σ que realmente aconteceram?

Então... A tensão residual σ r e s em uma peça é a diferença entre a tensão real σ e a tensão hipotética σ ' :

σ r e s = σ - σ '

Simples assim? 🤔

Sim!!! Simples assim! 😍

Então eu posso só fazer o Passo 1 e parte do Passo 2 e depois aplicar essa fórmula aí?

Sim!!

O único cuidado que você deve tomar é o de usar os sinais corretos de tensão (positivo para tração e negativo para compressão) tanto para a tensão real σ quanto para a hipotética σ ' .

Fazendo isso, o resultado para a tensão residual σ r e s vai sair bonitinho, com sinal correto e tudo.

PS: Fica o convite para você treinar o que aprendeu e ficar craque fazendo uns exercícios resolvidos!

Primeiro tem uns exercícios para treinar os conceitos básicos de deformação plástica/inelástica e depois tem uns de tensão residual mesmo para você tirar aquele notão.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria.

O comportamento da barra A B C de alumínio abaixo pode ser considerado elastoplástico com E = 70   G P a e σ E = 210   M P a . Determine qual é a força P necessária para fazer essa barra começar a se deformar plasticamente.

As áreas A das seções transversais dos trechos A B e B C da barra são fornecidas na imagem.

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Passo 1

O que está acontecendo?

As forças de tração P geram ao longo de toda a barra uma força interna normal N = P .

Essa força normal gera, nos trechos A B e B C da barra, tensões normais médias σ = N / A :

σ A B = N A A B       &       σ B C = N A B C

Onde A A B = 1000   m m 2 e A B C = 2000   m m 2 são as áreas das seções transversais dos trechos A B e B C da barra.

Para que a barra se deforme plasticamente, só é necessário que um dos seus trechos se deforme plasticamente.

E para que um trecho da barra se deforme plasticamente, é necessário que a tensão normal σ nesse trecho alcance o limite de resistência ao escoamento σ E = 210   M P a do material.

Para uma mesma força P , o trecho que irá atingir essa tensão σ E primeiro vai ser o trecho com a menor área de seção transversal A . (No nosso caso, o trecho A B !)

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a força P necessária para fazer a barra se deformar plasticamente.

(Ou seja, a força P necessária para fazer um dos trechos da barra se deformar plasticamente.)

Passo 2

Então vamos lá!

A barra vai se deformar plasticamente primeiro no trecho A B , que possui uma área de seção transversal menor.

Então a força P necessária para fazer a barra se deformar plasticamente é a força P que faz com que a tensão em A B , σ A B , seja igual à tensão de escoamento σ E :

σ A B = σ E

Aplicando a fórmula da tensão normal média σ = N / A para o trecho A B , vamos ter:

N A A B = σ E

Como a única força atuante na barra é a tração P , a força interna normal N na barra vai ser igual à P .

Dessa forma, temos que:

P A A B = σ E

Isolando P , temos:

P = σ E A A B

Substituindo os valores:

  • σ E = 210   M P a = 210   N / m m 2 ;
  • & A A B = 1000   m m 2 ,

Vamos encontrar que:

P = 210000   N

Como esse número é um pouco grande, podemos reescrevê-lo em k N :

P = 210   k N

Ou seja, precisamos de uma força P = 210   k N para fazer a barra começar a se deformar plasticamente!

Resposta

P = 210   k N

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria.

A prensa hidráulica abaixo é utilizada para comprimir o corpo de prova, que possui uma área de seção transversal A = 25   m m 2 , um comprimento inicial L = 50   m m e um comportamento elastoplástico com E = 200   G P a e σ e = 300   M P a .

Se a prensa causa no corpo de prova uma variação de comprimento máxima δ m = 5   m m , determine quais foram as variações de comprimento elástica δ e e plástica δ p sofridas pelo corpo de prova.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O corpo de prova se comporta de forma elastoplástica com um módulo de elasticidade E = 200   G P a e um limite de resistência ao escoamento σ e = 300   M P a .

Além disso, ele tem um comprimento inicial L = 50   m m .

A prensa hidráulica vai comprimir esse corpo de prova, gerando nele uma variação de comprimento máxima δ m = 5   m m .

Essa variação de comprimento máxima é composta por:

  • Uma variação de comprimento elástica δ e , que segue a Lei de Hooke, e ocorre até que a tensão no material alcance a tensão de escoamento σ e = 300   M P a ;
  • E uma variação de comprimento plástica δ p , que ocorre depois da tensão no material ter alcançado σ e .

Ou seja, caso a tensão no material alcance σ e , a variação de comprimento máxima δ m vai ser:

δ m = δ e + δ p

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente calcule os valores de δ e e δ p .

Primeiro, devemos calcular o valor máximo da variação de comprimento elástica δ e , que é o valor que ocorre quando a tensão no material é igual à σ e .

Se essa variação elástica máxima for maior ou igual à variação de comprimento máxima δ m no material, então toda a variação δ m = 5   m m sofrida vai ter sido elástica.

Mas se essa variação elástica máxima for menor que δ m , então a diferença será a variação de comprimento plástica δ p .

Passo 2

Vamos começar calculando o valor máximo possível para δ e !

O valor máximo da variação de comprimento elástica δ e é aquele que ocorre quando a tensão no material é igual à σ e , então vamos aplicar essa condição:

σ = σ e

Mas, da Lei de Hooke, temos que σ = E ε , onde ε é a deformação elástica sofrida pelo material. Então:

E ε = σ e

Se ε é a deformação elástica sofrida pelo material, então ε é igual à variação de comprimento elástica δ e sofrida dividida pelo comprimento L da peça:

E δ e L = σ e

Assim, encontramos que:

δ e = σ e L E

Substituindo os valores:

  • σ e = 300   M P a ;
  • E = 200   G P a = 200000   M P a ;
  • & L = 50   m m ,

Encontramos que:

δ e = 0,075   m m

Passo 3

Agora vamos pensar...

Encontramos que o valor máximo possível para δ e é 0,075   m m , o que é muito menor que a variação de comprimento máxima δ m = 5   m m sofrida pelo nosso corpo de prova.

Então o que aconteceu foi que:

  • A tensão de escoamento σ e = 300   M P a foi atingida na peça;
  • Por causa disso, a peça sofreu uma variação de comprimento elástica δ e = 0,075   m m ;
  • E também por causa disso, a peça começou a se comportar plasticamente, o que significa que todo o restante da variação de comprimento sofrida foi plástica.

Sabendo disso, já podemos calcular a variação de comprimento plástica na peça:

δ p = δ m - δ e

Substituindo δ m = 5   m m e δ e = 0,075   m m , encontramos que:

δ p = 4,925   m m

E assim finalizamos nosso exercício!

Resposta

δ e = 0,075   m m

&

δ p = 4,925   m m

Exercício Resolvido #3

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 138-2.105.

A barra A B C consiste em duas partes cilíndricas A B e B C ; ela é feita de um aço doce considerado elastoplástico com E = 200   G P a e σ E = 250   M P a . Uma força P é aplicada à barra e em seguida removida para dar a ela uma deformação permanente δ P = 2   m m . Determine o valor máximo da força P e o valor máximo de δ m pelo qual a barra deverá ser alongada para dar a ela a deformação permanente desejada.

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Passo 1

O que está acontecendo?

A barra A B C é feita de dois segmentos:

  • Um segmento A B de diâmetro d A B = 30   m m e comprimento L A B = 0,8   m ;
  • E outro B C de diâmetro d B C = 40   m m e comprimento L B C = 1,2   m .

Além disso, ela possui um comportamento considerado elastoplástico com módulo de elasticidade E = 200   G P a e tensão de escoamento σ E = 250   M P a .

O que isso significa é que quando a tensão σ E = 250   M P a é atingida na barra, ela não é capaz de resistir qualquer tensão maior e passa a se deformar plasticamente/permanentemente.

No caso da nossa barra, a tensão σ E = 250   M P a vai ser atingida primeiro no trecho A B , que possui um diâmetro menor, e, consequentemente, uma área de seção transversal A menor.

Isso significa que a variação de comprimento δ A B nesse trecho vai ser a soma:

  • De uma variação de comprimento elástica δ E A B até que a tensão de escoamento σ E fosse atingida;
  • Com uma deformação plástica/permanente δ P A B que ocorre depois que a tensão de escoamento foi atingida.

Ou seja:

δ A B = δ E A B + δ P A B

Já a variação de comprimento sofrida pelo trecho B C vai ser puramente elástica, uma vez que a tensão de escoamento σ E = 250   M P a nunca vai ser atingida nesse trecho.

(O trecho A B vai começar a se deformar livremente impedindo o aumento da carga P e das tensões σ em toda a peça assim que a tensão nele alcançar σ E = 250   M P a .)

Então vamos ter que:

δ B C = δ E B C

Então como o segmento B C não sofre deformação permanente, podemos dizer que toda a deformação permanente δ P = 2   m m sofrida pela barra foi sofrida pelo segmento A B .

Ou seja:

δ P A B = 2   m m

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer saber o valor máximo da força P que foi aplicada nessa barra para que ela sofresse essa deformação plástica.

Como é o trecho A B que sofre a deformação plástica, o valor máximo de P vai ser o valor para o qual a tensão normal média σ = N / A no trecho A B é igual à tensão de escoamento σ E :

σ A B = σ E

(Isso porque quando essa condição é atingida, a barra passa a se deformar livremente, impedindo que a força P seja aumentada.)

Depois, ele quer saber a variação de comprimento máxima δ m que foi sofrida pela barra para que ela tivesse a deformação permanente δ P A B = 2   m m no trecho A B .

Aqui, podemos perceber que a variação de comprimento máxima δ m da barra vai ser a soma das variações de comprimento de cada segmento:

δ m = δ A B + δ B C

Substituindo as expressões que encontramos para δ A B e δ B C , temos que:

δ m = δ E A B + δ P A B + δ E B C

Nessa expressão, sabemos que δ P A B = 2   m m e que uma variação de comprimento δ pode ser calculada pela fórmula δ = N L / E A se ela for elástica.

Passo 2

Então para encontrar a força P máxima na barra, vamos aplicar a condição de que ela acontece quando:

σ A B = σ E

Aplicando a fórmula da tensão normal média σ = N / A para o trecho A B , temos que:

N A B A A B = σ E

Como o único carregamento na barra é a tração P , a força interna normal N vai ser igual à P , tanto no trecho A B quanto no trecho B C .

Além disso, o trecho A B possui uma seção transversal circular de diâmetro d A B .

Então a área A A B dessa seção transversal pode ser calculada usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Aplicando tudo isso, a nossa expressão anterior fica assim:

( P ) π d 2 4 = σ E

Queremos encontrar a força máxima P , então devemos isolá-la:

P = σ E π d 2 4

Finalmente, substituindo os valores:

  • σ E = 250   M P a = 250   N / m m 2 ;
  • & d = 30   m m ,

Encontramos que:

P = 176715   N

Como esse número é um pouco grande, podemos reescrevê-lo em k N na hora de darmos a nossa resposta para a primeira parte do exercício:

P = 176,7   k N

Passo 3

Agora, na segunda parte do exercício, queremos encontrar a variação de comprimento máxima δ m que foi sofrida pela barra.

Como vimos no Passo 1, essa variação δ m vai ser a soma:

  • Das variações de comprimento elástica δ E dos segmentos A B e B C ;
  • Com a variação de comprimento permanente/plástica δ P que foi sofrida pelo segmento A B .

Ou seja:

δ m = δ E A B + δ P A B + δ E B C

Nessa expressão, podemos desenvolver as variações elásticas δ E usando a fórmula δ = N L / E A .

Aplicando essa fórmula para δ E A B e para δ E B C , vamos ter que:

δ m = N A B L A B E A A B + δ P A B + N B C L B C E A B C

Mais uma vez, como o único carregamento na barra é a tração P , a força interna normal N vai ser igual à P , tanto no trecho A B quanto no trecho B C .

Além disso, como as áreas A A B e A B C são circulares, elas podem ser fornecidas em função de seus diâmetros d A B e d B C usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Aplicando tudo isso, a expressão anterior fica assim:

δ m = P L A B E π d A B 2 4 + δ P A B + P L B C E π d B C 2 4

Arrumando tudo, temos:

δ m = 4 P L A B E π d A B 2 + δ P A B + 4 P L B C E π d B C 2

Colocando 4 P / E π em evidência, temos:

δ m = 4 P E π L A B d A B 2 + L B C d B C 2 + δ P A B

Finalmente, substituindo os valores:

  • P = 176,7   k N ;
  • E = 200   G P a = 200   k N / m m 2 ;
  • L A B = 0,8   m = 800   m m e L B C = 1,2   m = 1200   m m ;
  • d A B = 30   m m e d B C = 40   m m ;
  • & δ P A B = 2   m m ,

Encontramos que:

δ m = 3,84   m m

Que é a nossa resposta para a segunda e última parte o exercício!

Resposta

P = 176,7   k N