Problemas Estaticamente Indeterminados

Teoria Completa

Revisão

Vamos dizer que você precisa descobrir a tensão normal σ em uma coluna de concreto.

Essa coluna está entre entre uma placa rígida e o solo, que também é rígido, e está sob compressão por uma carga P :

Esse é um problema de carga axial: as forças na coluna agem ao longo do seu eixo principal.

Agora lembra aí...

Quando a gente estudou tensões, vimos que para encontrar a tensão normal média σ = N / A nesse coluna, precisamos conhecer a força interna normal N nela.

E, para encontrar a força interna N , podemos usar os métodos da estática:

  • Fazer um DCL (diagrama de corpo livre) da coluna;
  • Aplicar as condições de equilíbrio na coluna;
  • E fazer uma análise dos esforços internos nela.

Problemas Estaticamente Indeterminados

Agora, vamos dizer que ao cortar essa coluna ao meio, você descobre que ela possui uma viga de aço interna:

Isso significa que na hora de fazer o DCL dessa coluna, vamos precisar fazer um DCL para cada material.

Fazendo isso, vemos que parte da compressão P vai para o concreto através da força F C e outra parte vai para o aço através da força F A :

E aí aqui as coisas dificultam:

Nós só temos uma equação de equilíbrio (o equilíbrio das forças verticais na placa rígida) que nos permite relacionar as forças desconhecidas F C e F A com a carga P :

∑ F V = 0       ⇒       F C + F A - P = 0

Com uma única equação, não é possível determinar as duas incógnitas F C e F A .

Ou seja, essa estrutura é estaticamente indeterminada: os métodos da estática (DCL, equilíbrio, etc.) não são o suficiente para determinar o que está acontecendo nela.

Então precisamos encontrar alguma outra equação que relacione F C e F A para que a gente possa determinar o valor dessas compressões.

Mas como é que a gente consegue essa outra equação?

Compatibilidade

Bom, se as condições de equilíbrio não são suficientes para achar as incógnitas, podemos pensar na compatibilidade entre as variações de comprimento δ das peças.

Para a nossa coluna, por exemplo:

Se o aço sofre uma variação de comprimento δ A , o concreto vai ter que sofrer uma variação δ C igual para que a placa rígida continue em contato com os dois materiais:

Agora, se nos lembrarmos do que vimos em deformação, vamos lembrar que existe uma fórmula para a variação de comprimento δ em uma peça sob carregamento axial:

δ = N L E A

(Lembra? Essa fórmula vem da união das definições de tensão normal média σ = N / A e de deformação ε = δ / L com a Lei de Hooke σ = E ε .)

Como o concreto e o aço estão sob compressão pura por forças F C e F A , as forças normais N neles vão ser:

N C = - F C       &       N A = - F A

E, olha só, se a gente juntar a relação δ C = δ A , a fórmula δ = N L / E A e esses valores de N , achamos que:

- F C L C E C A C = - F A L A E A A A

O que é uma outra equação relacionando as incógnitas F C e F A !

Combinando essa equação nova com a anterior F C + F A - P = 0 , conseguimos determinar as compressões (e, em seguida, as tensões) no concreto e no aço!

Equação de Compatibilidade

Essa relação δ A = δ C entre as variações de comprimento é o que chamamos de equação de compatibilidade.

Diferentes exercícios vão ter diferentes equações de compatibilidade, sendo que alguns vão ter até mais de uma.

Para encontrar uma equação de compatibilidade de um exercício, o bizu é:

  • Fazer um desenho (no papel ou mentalmente) de como vai ficar o problema depois que as peças se deformarem;
  • E encontrar nesse desenho alguma relação (de igualdade ou de semelhança de triângulos) entre as variações de comprimento δ de cada peça.

Para alguns exercícios, existe um método para encontrar a equação da compatibilidade que deixa as coisas mais fáceis de visualizar!

:P

É o método de análise de força (também conhecido como método da superposição!), que é o que vamos ver a seguir.

Método de Análise de Força

Para aprender esse método, vamos considerar a barra A C abaixo, engastada no ponto A e carregada com uma força P conhecida:

Vamos dizer que a gente descobriu que essa força P vai gerar na barra uma deformação maior que a folga de 1   m m . (Ou seja, o ponto C da barra vai encostar na parede da direita.)

Com isso, a barra vai sofrer reações das paredes tanto em A quanto em C :

E, como todas essas forças agem na horizontal da barra, a única condição de equilíbrio disponível vai ser o equilíbrio de forças na horizontal:

∑ F H = 0       ⇒       P - R A - R C = 0

Dessa forma, o exercício é estaticamente indeterminado, já que essa única equação não é suficiente para encontrarmos o valor das reações desconhecidas R A e R C .

Para encontrar R A e R C , vamos precisar de uma equação de compatibilidade. O método de análise de força vai nos ajudar a encontrar isso.

1º Passo - Reações Redundantes

O primeiro passo para aplicar o método é retirar reações da peça até que ela deixe de ficar estaticamente indeterminada.

Essas reações que forem retiradas vão ser chamadas de reações reduntantes.

No caso da nossa barra, podemos, por exemplo, escolher retirar a reação R C .

Fazendo isso, vamos ter uma reação desconhecida ( R A ) e uma equação de equilíbrio ( ∑ F H = 0 ). Dessa forma, a barra vai ficar estaticamente DEterminada.

2º Passo - Diagramas de Carregamento e de Reação Redundante

O próximo passo é esboçar, rapidamente, alguns diagramas.

O primeiro vai ser o diagrama de carregamento, que é o diagrama da peça sem as reações redundantes:

Em seguida, desenhamos um diagrama para cada reação redundante (no nosso caso, só temos uma, que é R C ).

Feito isso, indicamos, nos mesmos esboços, as deformações causadas por cada carregamento:

3º Passo - Superposição

Por último, fazemos a superposição das variações de comprimento de cada diagrama para encontrar a variação total de comprimento δ T O T A L na peça:

δ T O T A L = δ 1 - δ 2

Olhando para a proposição original do problema, vemos que a variação total de comprimento na barra vai ser igual à folga de 1   m m , de tal forma que:

δ 1 - δ 2 = 1   m m

Essa é a nossa equação de compatibilidade!

Finalização

Por fim, conseguimos descrever δ 1 em função da força P (conhecida) e δ 2 em função da reação R C (desconhecida). Dessa forma, conseguimos:

  • Usar a equação de compatibilidade δ 1 - δ 2 = 1   m m para encontrar R C ;
  • E, depois, usar o equilíbrio de forças P - R A - R C = 0 para encontrar R A .

E assim resolvemos o exercício!

Princípio da Superposição

O que fizemos no método da análise de força foi aplicar um princípio chamado de Princípio da Superposição.

Basicamente, esse princípio diz que, se a gente dividir um problema em problemas menores, a solução do problema original vai ser a superposição da solução dos problemas menores.

Esse princípio pode ser utilizado para o cálculo de forças, tensões e deformações sempre que os materiais estiverem respondendo de forma linear (de acordo com a Lei de Hooke).

Inclusive, não é necessário você estar usando o método de análise de força para usar o princípio da superposição.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 91-4.2.

A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine o deslocamento vertical de sua extremidade, A , se P 1 = 200   k N , P 2 = 310   k N e a coluna tiver área de seção transversal de 14625   m m 2 .

Dados: E = 200   G P a .

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Passo 1

Os pares de forças P 1 = 200   k N e P 2 = 310   k N estão comprimindo a coluna A B C , que possui uma área de seção transversal A = 14625   m m 2 e um módulo de elasticidade E = 200   G P a .

O exercício quer saber o deslocamento δ A da extremidade A .

Para encontrar esse deslocamento, podemos:

  • Encontrar as forças normais N e as variações de comprimento δ = N L / E A nos trechos A B e B C . Nesse caso, vamos ter que δ A = δ A B + δ B C ;
  • Ou calcular individualmente as variações de comprimento δ 1 e δ 2 causadas pelos pares de forças P 1 e P 2 , respectivamente, e usar o princípio da superposição para definir que δ A = δ 1 + δ 2 .

Aproveitando esse exercício para treinar o princípio da superposição, vamos utilizar o segundo método!

Passo 2

Aplicando o princípio da superposição, podemos calcular individualmente as deformações δ 1 e δ 2 , causadas pelos pares de forças P 1 e P 2 , respectivamente.

E, depois, podemos somar esses efeitos para encontrar a deformação total na coluna:

Dessa superposição de efeitos, encontramos que:

δ A = δ 1 + δ 2

Então nos resta encontrar as deformações δ 1 e δ 2 causadas por cada carregamento.

Passo 3

Para encontrar a deformação δ 1 causada pelas forças P 1 , vamos pensar na situação em que só as forças P 1 estão atuando:

Nesse caso, a coluna vai ser um grande segmento de comprimento L 1 = 7,2   m , área de seção transversal A e módulo de elasticidade E .

Além disso, como as únicas forças atuando são as duas forças P 1 de compressão, vamos ter que a força normal na coluna vai ser N 1 = - 2 P 1 .

Daí que para encontrar a variação de comprimento δ 1 , podemos usar a fórmula δ = N L / E A , de tal forma que:

δ 1 = N 1 L 1 E A = - 2 P 1 L 1 E A

Passo 4

De forma análoga ao passo passado, vamos agora pensar no caso em que somente as forças P 2 estão atuando:

Nesse caso, a coluna vai ser composta por dois segmentos A B e B C , ambos com uma área de seção transversal A , módulo de elasticidade E e comprimento L 2 = 3,6   m .

Dessa forma, a variação de comprimento δ 2 na coluna vai ser igual à soma das variações de comprimento de cada segmento:

δ 2 = ∑ δ = ∑ N L E A

Fazendo essa soma, temos que:

δ 2 = N A B L 2 E A + N B C L 2 E A

Agora, enquanto que o segmento B C vai ter uma força normal N B C = - 2 P 2 , o segmento A B não vai estar carregado, e vai ter assim uma força normal N A B nula.

Com isso, encontramos que:

δ 2 = 0 L 2 E A + - 2 P 2 L 2 E A

δ 2 = - 2 P 2 L 2 E A

Passo 5

Por fim, aplicando a fórmula que tínhamos encontrado anteriormente para superposição dos efeitos, temos que:

δ A = δ 1 + δ 2

Substituindo as expressões encontradas para δ 1 e δ 2 :

δ A = - 2 P 1 L 1 E A + - 2 P 2 L 2 E A

Arrumando, isso fica assim:

δ A = - 2 ( P 1 L 1 + P 2 L 2 ) E A

Substituindo P 1 = 200   k N , L 1 = 7,2   m , P 2 = 310   k N , L 2 = 3,6   m , E = 200   G P a e A = 14625   m m 2 , temos que:

δ A = - 2 200   k N 7,2   m + 310   k N 3,6   m 200   G P a 14625   m m 2

Para calcular isso, precisamos prestar atenção nas unidades.

Nesse caso, podemos nos lembrar que G P a é o mesmo que k N / m m 2 . Assim, as unidades k N e m m 2 se cortam e o resultado final sai em m , que é a unidade que vai sobrar.

Calculando tudo, encontramos então que:

δ A = - 0 , 00174769   m

Esse número é bem pequeno, então podemos reescrevê-lo em m m na hora de darmos a resposta:

Resposta

δ A = - 1,74769   m m

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 99-2.35.

Forças de compressão centradas de 178   k N são aplicadas em ambas as extremidades do conjunto mostrado na figura por meio de placas rígidas. Sabendo que E a ç o = 200   G P a e E a l u m = 69,6   G P a , determine ( a ) as tensões normais no núcleo de aço e no tubo de alumínio e ( b ) a deformação do conjunto.

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Passo 1

Nesse exercício, temos:

  • Um núcleo de aço com diâmetro d = 25,4   m m e módulo de elasticidade E a ç o = 200   G P a ;
  • E um tubo de alumínio com diâmetro interno d = 25,4   m m , diâmetro externo d e x t = 63,5   m m e módulo de elasticidade E a l u m = 69,6   G P a .

Essas duas peças têm um comprimento original L = 254   m m e estão sendo comprimidas por uma força P = 178   k N por meio de placas rígidas nas suas extremidades:

Além disso, ainda temos que essa compressão por meio de placas rígidas vai causar aço e no alumínio variações de comprimento δ a ç o e δ a l u m iguais:

No item ( a ) , o exercício quer que a gente encontre as tensões normais σ em cada peça, que vão ser dadas pela fórmula da tensão normal média σ = N / A .

O primeiro passo vai ser fazer um DCL (diagrama de corpo livre) das peças para identificar as forças atuando no aço e no alumínio.

Como as condições de equilíbrio não vão ser suficientes para achar as incógnitas desse DCL, vamos ter que usar também a condição de compatibilidade δ a ç o = δ a l u m .

Finalmente, uma vez que tivermos encontrado as forças atuando em cada peça, vamos poder calcular as tensões σ nelas.

Já no item ( b ) , o exercício quer saber a deformação ε do conjunto.

Como as duas peças tem comprimentos originais L e variações de comprimento δ iguais, a deformação ε = δ / L nelas vão ser iguais.

Assim, podemos usar a tensão σ e o módulo de elasticidade E de qualquer uma das peças para encontrar a deformação ε do conjunto usando a Lei de Hooke σ = E ε .

Passo 2

Começamos fazendo o diagrama de corpo livre das peças presentes no exercício:

Com isso, percebemos que uma porção P a ç o da força P de compressão é suportada pelo aço e outra porção P a l u m é suportada pelo alumínio.

Aplicando as condições de equilíbrio para as placas rígidas, temos que o somatório de forças na horizontal dessas placas deve ser igual a zero:

∑ F H = 0

O que significa que:

P - P a ç o - P a l u m = 0

P a ç o + P a l u m = P

O que já era esperado.

Mas infelizmente, essa única equação não é o suficiente para que a gente consiga encontrar as incógnitas P a ç o e P a l u m .

Então vamos precisar de uma equação de compatibilidade para complementar essa equação.

Passo 3

Pensando em como as nossas peças vão se deformar:

Conseguimos identificar a equação de compatibilidade:

δ a ç o = δ a l u m

Agora, essa equação de compatibilidade escrita dessa forma não tem muita utilidade para a gente.

Precisamos conseguir descrever as variações de comprimento δ a ç o e δ a l u m em função dos carregamentos nessas peças.

Mas lembra aí!

Existe uma fórmula que nos fornece essas variações de comprimento δ a partir do carregamento em uma peça:

δ = N L E A

(É a fórmula que vem da combinação das definições da tensão normal média σ = N / A e da deformação ε = δ / L com a Lei de Hooke σ = E ε .)

Aplicando essa fórmula para as nossas variações de comprimento, temos que:

N a ç o L a ç o E a ç o A a ç o = N a l u m L a l u m E a l u m A a l u m

Nessa equação, conseguimos observar que:

  • A força normal N a ç o vai ser igual a menos a força P a ç o de compressão no aço;
  • Da mesma forma, a força normal no alumínio vai ser N a l u m = - P a l u m ;
  • Tanto o núcleo de aço quanto o tubo de alumínio possuem o mesmo comprimento inicial L , então os termos L a ç o e L a l u m vão se cortar;
  • A área do núcleo de aço pode ser encontrada em função de seu diâmetro d usando a fórmula A = π d 2 / 4 ;
  • E, por último, a área do tubo de alumínio é igual à área do círculo externo π d e x t 2 / 4 menos a área do círculo interno π d 2 / 4 .

Fazendo todas essas operações, aquela expressão fica assim:

- P a ç o E a ç o π d 2 4 = - P a l u m E a l u m π d e x t 2 4 - π d 2 4

Multiplicando os dois lados por π / 4 , temos:

- P a ç o E a ç o d 2 = - P a l u m E a l u m d e x t 2 - d 2

O que significa que:

P a ç o = E a ç o E a l u m d 2 d e x t 2 - d 2 * P a l u m

Substituindo os valores E a ç o = 200   G P a , E a l u m = 69,6   G P a , d = 25,4   m m e d e x t = 63,5   m m e calculando tudo, encontramos que:

P a ç o = 0 , 5473   P a l u m

Passo 4

Agora que temos uma relação entre as incógnitas P a ç o e P a l u m além da relação que veio do equilíbrio de forças...

P a ç o + P a l u m = P

...conseguimos unir essas duas relações para encontrar os valores de P a ç o e P a l u m .

Substituindo P a ç o = 0,5473   P a l u m na relação que veio do equilíbrio de forças, temos que:

0,5473   P a l u m + P a l u m = P

O que significa que:

P a l u m = P 1,5473

Como P é igual a 178   k N , encontramos que:

P a l u m = 115,04   k N

E, como P a ç o = 0,5473   P a l u m , isso significa que:

P a ç o = 0,5473 ( 115,04   k N )

P a ç o = 62,96   k N

Passo 5

Agora que conhecemos os carregamentos em cada peça, podemos calcular as tensões normais médias σ = N / A para cada peça.

Para o núcleo de aço, temos:

σ a ç o = N a ç o A a ç o

Já vimos anteriormente que A a ç o = π d 2 / 4 e que N a ç o = - P a ç o , então temos que:

σ a ç o = - P a ç o π d 2 4

Substituindo os valores P a ç o = 62,96   k N e d = 25,4   m m , isso dá:

σ a ç o = - 0,1243   k N / m m 2 = - 0,1243   G P a

Como esse número é um pouco pequeno, podemos reescrever essa tensão em M P a :

σ a ç o = - 124,3   M P a

Já para o tubo de alumínio, temos:

σ a l u m = N a l u m A a l u m

No passo 3, vimos que N a l u m = - P a l u m e A a l u m = π d e x t 2 / 4 - π d 2 / 4 , então:

σ a l u m = - P a l u m π d e x t 2 4 - π d 2 4

Substituindo P a l u m = 115,04   k N , d = 25,4   m m e d e x t = 63,5   m m e calculando tudo, encontramos:

σ a l u m = - 0 , 0432   k N / m m 2 = - 0,0432   G P a