Movimento curvilíneo

Teoria Completa

Introdução

Você aprendeu até agora os exemplos em que existe apenas o movimento retilíneo, certo? Mas, e quando o movimento apresenta algum tipo de curvatura? Como por exemplo quando uma moto faz uma curva de uma estrada, como poderemos analisar esse movimento?

Quando o movimento é curvo, teremos que analisar o problema de uma forma diferente. É isso que vamos aprender neste tópico.

Então, partiu?

Posição e Deslocamento Vetoriais

Quando estamos analisando um movimento curvo, é importante tratarmos de grandezas vetoriais. Isso porque neste tipo de movimento, para cada ponto da trajetória o vetor terá um módulo, uma direção e um sentido.

Imagine um carro fazendo uma curva... Para determinarmos a posição dele, temos que escolher um ponto de referência e traçar um vetor deste ponto até o carro:

Dizemos, então, que r → 1 é a posição do carro no instante t 0 . Com o passar do tempo, o carro vai adquirir outra posição r → 2 :

Então, a variação da posição, que chamamos de deslocamento ∆ r → , é:

∆ r → =   r → 2 - r → 1

Repare que o vetor ∆ r → sai da posição inicial e chega na posição final.

Velocidade vetorial

Nós vimos que velocidade média é a variação da posição dividida pelo tempo, certo? Para o cálculo da velocidade média vetorial, a variação da posição será o nosso vetor ∆ r → :

v → m é d =   ∆ r → ∆ t

Se tomarmos um ∆ t bem pequenininho e usarmos o conceito de derivada, a velocidade passa a ser instantânea:

v → = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ r → ∆ t

v → = d r → d t

Quando fazemos ∆ t tender a zero, o vetor ∆ r → tende a ser tangente à curva naquele ponto. É como se estivéssemos olhando para um único ponto da curva:

Repare que a velocidade v → terá a mesma direção e sentido do vetor ∆ r → e portanto será sempre tangente à trajetória:

A velocidade instantânea também pode ser chamada de:

v → = r → ˙

Onde, r → ˙ indica que é a derivada primeira do vetor posição.

Aceleração Vetorial

A aceleração mede o quanto a velocidade varia com o passar do tempo. Portanto, só existe aceleração se houver variação da velocidade. Mas e a aceleração vetorial? Vamos usar a velocidade vetorial para calcular:

a → m é d = ∆ v → ∆ t

Se fizermos ∆ t tender a zero, vamos achar a aceleração instantânea que é a aceleração naquele ponto específico que estamos analisando:

a → = d v → d t

A aceleração a → será responsável por fazer o corpo realizar o movimento curvilíneo, ou seja, é a aceleração que provoca a mudança de sentido e direção do vetor velocidade ao longo da trajetória, assim:

A aceleração sempre vai ter uma componente apontando para o centro da curva que vamos chamar de aceleração centrípeta e esta componente será responsável por mudar o sentido e a direção do vetor velocidade. O módulo da aceleração centrípeta é:

a → =   v 2 R

Onde, R é o raio da trajetória e v é o módulo da velocidade.

E somente quando ocorrer um aumento ou diminuição da velocidade, a aceleração terá uma componente tangencial à trajetória que vamos chamar de aceleração tangencial. A aceleração tangencial é calculada da mesma forma que vimos antes:

a → =   ∆ v → ∆ t  

Ângulo entre vetores: uma breve revisão

E se quisermos calcular, por exemplo, o ângulo entre o vetor aceleração e o vetor velocidade?

Voltando lá no início da matéria, no capítulo de vetores, vimos que podemos usar a fórmula:

c o s θ = a → . v → a → . v →

Onde   a → . v → é o produto escalar entre os vetores.

Movimento de um projétil

Uma das aplicações do que aprendemos até aqui é a análise do movimento de um projétil que tem a seguinte característica:

Quando um projétil é lançado, ele realiza dois movimentos perpendiculares entre si e simultâneos. Para facilitar, vamos olhar para cada movimento separadamente: um na horizontal e outro na vertical. Para isso, vamos decompor o vetor velocidade:

Na vertical teremos um movimento retilíneo que sofre a ação da gravidade, logo a aceleração é constante. Se quisermos calcular a velocidade na vertical v y :

v y = v 0 y - g t

Já se quisermos calcular a altura do projétil, vamos usar esta fórmula:

y ( t ) = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2  

Caso você tenha que relacionar a altura do projétil com a sua velocidade vertical, mas sem ter dado nenhum de tempo, use essa fórmula aqui:

v y 2 =   v 0 y 2 - 2 g ( y - y 0 )

Na horizontal teremos um movimento que não sofre aceleração nenhuma e, portanto, é um movimento retilíneo uniforme. Como não há aceleração, a velocidade horizontal é constante.

Se quisermos calcular a posição do projétil no eixo x , temos:

x t = x 0 + v 0 x t

Repare que a velocidade de lançamento faz um certo ângulo θ com a horizontal:

Sendo assim:

v x = v c o s θ   i ^

v y = v s e n θ   j ^

E é isso! Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2013, 34, 2/61

No instante t = 10   s , a velocidade de uma partícula que se desloca no plano x y é v → = + 0,1 i ^ + 2 j ^   m / s . No instante t = 10,1   s , a sua velocidade torna-se - 0,1 i ^ + 1,8 j ^ . Determine o módulo a m é d de sua aceleração média durante este intervalo e o ângulo θ dado pela aceleração média com o eixo positivo x .

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Passo 1

Sabendo que a aceleração média é:

a → m é d = ∆ v → ∆ t       →         a → m é d = - 0,1 i ^ + 1,8 j ^ - + 0,1 i ^ + 2 j ^ 10,1 - 10

a → m é d = - 0,2 i ^ - 0,2 j ^ 0,1       →         a → m é d = - 2 i ^ - 2 j ^   m / s 2

Passo 2

Agora vamos calcular o módulo da aceleração média:

a → m é d = ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 2,83   m / s 2

Passo 3

Assim, o ângulo será:

θ = tg - 1 ⁡ a y a x         →         θ = tg - 1 ⁡ - 2 - 2

θ = 225 °   o u   45 °

Como as duas componentes da aceleração são negativas, ela estará no terceiro quadrante. Então o ângulo certo é 225 ° .

Resposta

a → m é d = 2,83   m / s 2

θ = 225 °

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/67

O vetor posição de um ponto que se move no plano x y é dado por:

r = 2 3 t 3 - 3 2 t 2 i ^ + t 4 12 j ^

Onde r é expresso em metros e t é expresso em segundos. Determine o ângulo entre a velocidade v → e a aceleração a → quando a t = 2   s e b t = 3   s .

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Passo 1

Vamos calcular a velocidade derivando o vetor:

v → = d r → d t = 2 t 2 - 3 t i ^ + t 3 3 j ^

E para achar a aceleração é só derivarmos de novo:

a → = d v → d t = 4 t - 3 i ^ + t 2 j ^

Passo 2

Para t = 2 s :

v → 2 = 2 ( 2 2 ) - 3 ( 2 ) i ^ + 2 3 3 j ^ = 2 i ^ + 8 3 j ^

E:

a → 2 = 4 ( 2 ) - 3 i ^ + 2 2 j ^ = 5 i ^ + 4 j ^

Para calcular o ângulo entre eles, temos que achar o módulo destes vetores:

v → = 2 2 + 8 3 2

a → = 5 2 + 4 2

Assim:

c o s θ = v → . a → v → . a → = 2 i ^ + 8 3 j ^ . 5 i ^ + 4 j ^ 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 10 + 32 3 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 62 3 3,33 . 6,4 = 0,97

Assim:

θ = cos - 1 ⁡ 0,97 = 14,47 °

Passo 3

E para t = 3   s , vamos ter que:

v → 3 = 2 ( 3 2 ) - 3 ( 3 ) i ^ + 3 3 3 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^