Movimento curvilíneo

Teoria Completa

Introdução

Você aprendeu até agora os exemplos em que existe apenas o movimento retilíneo, certo? Mas, e quando o movimento apresenta algum tipo de curvatura? Como por exemplo quando uma moto faz uma curva de uma estrada, como poderemos analisar esse movimento?

Quando o movimento é curvo, teremos que analisar o problema de uma forma diferente. É isso que vamos aprender neste tópico.

Então, partiu?

Posição e Deslocamento Vetoriais

Quando estamos analisando um movimento curvo, é importante tratarmos de grandezas vetoriais. Isso porque neste tipo de movimento, para cada ponto da trajetória o vetor terá um módulo, uma direção e um sentido.

Imagine um carro fazendo uma curva... Para determinarmos a posição dele, temos que escolher um ponto de referência e traçar um vetor deste ponto até o carro:

Dizemos, então, que r → 1 é a posição do carro no instante t 0 . Com o passar do tempo, o carro vai adquirir outra posição r → 2 :

Então, a variação da posição, que chamamos de deslocamento ∆ r → , é:

∆ r → =   r → 2 - r → 1

Repare que o vetor ∆ r → sai da posição inicial e chega na posição final.

Velocidade vetorial

Nós vimos que velocidade média é a variação da posição dividida pelo tempo, certo? Para o cálculo da velocidade média vetorial, a variação da posição será o nosso vetor ∆ r → :

v → m é d =   ∆ r → ∆ t

Se tomarmos um ∆ t bem pequenininho e usarmos o conceito de derivada, a velocidade passa a ser instantânea:

v → = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ r → ∆ t

v → = d r → d t

Quando fazemos ∆ t tender a zero, o vetor ∆ r → tende a ser tangente à curva naquele ponto. É como se estivéssemos olhando para um único ponto da curva:

Repare que a velocidade v → terá a mesma direção e sentido do vetor ∆ r → e portanto será sempre tangente à trajetória:

A velocidade instantânea também pode ser chamada de:

v → = r → ˙

Onde, r → ˙ indica que é a derivada primeira do vetor posição.

Aceleração Vetorial

A aceleração mede o quanto a velocidade varia com o passar do tempo. Portanto, só existe aceleração se houver variação da velocidade. Mas e a aceleração vetorial? Vamos usar a velocidade vetorial para calcular:

a → m é d = ∆ v → ∆ t

Se fizermos ∆ t tender a zero, vamos achar a aceleração instantânea que é a aceleração naquele ponto específico que estamos analisando:

a → = d v → d t

A aceleração a → será responsável por fazer o corpo realizar o movimento curvilíneo, ou seja, é a aceleração que provoca a mudança de sentido e direção do vetor velocidade ao longo da trajetória, assim:

A aceleração sempre vai ter uma componente apontando para o centro da curva que vamos chamar de aceleração centrípeta e esta componente será responsável por mudar o sentido e a direção do vetor velocidade. O módulo da aceleração centrípeta é:

a → =   v 2 R

Onde, R é o raio da trajetória e v é o módulo da velocidade.

E somente quando ocorrer um aumento ou diminuição da velocidade, a aceleração terá uma componente tangencial à trajetória que vamos chamar de aceleração tangencial. A aceleração tangencial é calculada da mesma forma que vimos antes:

a → =   ∆ v → ∆ t  

Ângulo entre vetores: uma breve revisão

E se quisermos calcular, por exemplo, o ângulo entre o vetor aceleração e o vetor velocidade?

Voltando lá no início da matéria, no capítulo de vetores, vimos que podemos usar a fórmula:

c o s θ = a → . v → a → . v →

Onde   a → . v → é o produto escalar entre os vetores.

Movimento de um projétil

Uma das aplicações do que aprendemos até aqui é a análise do movimento de um projétil que tem a seguinte característica:

Quando um projétil é lançado, ele realiza dois movimentos perpendiculares entre si e simultâneos. Para facilitar, vamos olhar para cada movimento separadamente: um na horizontal e outro na vertical. Para isso, vamos decompor o vetor velocidade:

Na vertical teremos um movimento retilíneo que sofre a ação da gravidade, logo a aceleração é constante. Se quisermos calcular a velocidade na vertical v y :

v y = v 0 y - g t

Já se quisermos calcular a altura do projétil, vamos usar esta fórmula:

y ( t ) = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2  

Caso você tenha que relacionar a altura do projétil com a sua velocidade vertical, mas sem ter dado nenhum de tempo, use essa fórmula aqui:

v y 2 =   v 0 y 2 - 2 g ( y - y 0 )

Na horizontal teremos um movimento que não sofre aceleração nenhuma e, portanto, é um movimento retilíneo uniforme. Como não há aceleração, a velocidade horizontal é constante.

Se quisermos calcular a posição do projétil no eixo x , temos:

x t = x 0 + v 0 x t

Repare que a velocidade de lançamento faz um certo ângulo θ com a horizontal:

Sendo assim:

v x = v c o s θ   i ^

v y = v s e n θ   j ^

E é isso! Bora praticar?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2013, 34, 2/61

No instante t = 10   s , a velocidade de uma partícula que se desloca no plano x y é v → = + 0,1 i ^ + 2 j ^   m / s . No instante t = 10,1   s , a sua velocidade torna-se - 0,1 i ^ + 1,8 j ^ . Determine o módulo a m é d de sua aceleração média durante este intervalo e o ângulo θ dado pela aceleração média com o eixo positivo x .

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Passo 1

Sabendo que a aceleração média é:

a → m é d = ∆ v → ∆ t       →         a → m é d = - 0,1 i ^ + 1,8 j ^ - + 0,1 i ^ + 2 j ^ 10,1 - 10

a → m é d = - 0,2 i ^ - 0,2 j ^ 0,1       →         a → m é d = - 2 i ^ - 2 j ^   m / s 2

Passo 2

Agora vamos calcular o módulo da aceleração média:

a → m é d = ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 2,83   m / s 2

Passo 3

Assim, o ângulo será:

θ = tg - 1 ⁡ a y a x         →         θ = tg - 1 ⁡ - 2 - 2

θ = 225 °   o u   45 °

Como as duas componentes da aceleração são negativas, ela estará no terceiro quadrante. Então o ângulo certo é 225 ° .

Resposta

a → m é d = 2,83   m / s 2

θ = 225 °

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/67

O vetor posição de um ponto que se move no plano x y é dado por:

r = 2 3 t 3 - 3 2 t 2 i ^ + t 4 12 j ^

Onde r é expresso em metros e t é expresso em segundos. Determine o ângulo entre a velocidade v → e a aceleração a → quando a t = 2   s e b t = 3   s .

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Passo 1

Vamos calcular a velocidade derivando o vetor:

v → = d r → d t = 2 t 2 - 3 t i ^ + t 3 3 j ^

E para achar a aceleração é só derivarmos de novo:

a → = d v → d t = 4 t - 3 i ^ + t 2 j ^

Passo 2

Para t = 2 s :

v → 2 = 2 ( 2 2 ) - 3 ( 2 ) i ^ + 2 3 3 j ^ = 2 i ^ + 8 3 j ^

E:

a → 2 = 4 ( 2 ) - 3 i ^ + 2 2 j ^ = 5 i ^ + 4 j ^

Para calcular o ângulo entre eles, temos que achar o módulo destes vetores:

v → = 2 2 + 8 3 2

a → = 5 2 + 4 2

Assim:

c o s θ = v → . a → v → . a → = 2 i ^ + 8 3 j ^ . 5 i ^ + 4 j ^ 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 10 + 32 3 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 62 3 3,33 . 6,4 = 0,97

Assim:

θ = cos - 1 ⁡ 0,97 = 14,47 °

Passo 3

E para t = 3   s , vamos ter que:

v → 3 = 2 ( 3 2 ) - 3 ( 3 ) i ^ + 3 3 3 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^

E a aceleração:

a → 3 = 4 ( 3 ) - 3 i ^ + 3 2 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^  

Opa!

Nesse caso, nem precisamos fazer contas. Perceba que os vetores tem a mesma direção, sendo assim, são paralelos. Então, o ângulo entre eles vai ser zero:

θ = 0

Resposta

a )   14,47 °

b ) 0 °

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/62

Uma partícula que se move em um movimento curvilíneo tem coordenadas em milímetros que variam com o tempo t em segundos de acordo com x = 3 t 2 - 4 t e y = 4 t 2 - 1 3 t 3 . Determine os módulos da velocidade v → e aceleração a → e os ângulos que estes vetores fazem com o eixo x quando t = 2   s .

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Passo 1

O vetor deslocamento r → é dado por:

r → = 3 t 2 - 4 t   i ^ + ( 4 t 2 - 1 3 t 3 ) j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 6 t - 4 i ^ + 8 t - t 2 j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 6 i ^ + ( 8 - 2 t ) j ^

Passo 2

Para t = 2   s , vamos ter que:

v → 2 = 6 ( 2 ) - 4 i ^ + 8 ( 2 ) - ( 2 ) 2 j ^

v → 2 = 12 - 4 i ^ + 16 - 2 j ^

v → 2 = 8 i ^ + 12 j ^   m m / s

E a aceleração fica:

a → ( 2 ) = 6 i ^ + 8 - 2 ( 2 ) j ^

a → 2 = 6 i ^ + 4 j ^   m m / s 2

Passo 3

O módulo do vetor velocidade vai ser:

v → 2 = 8 2 + 12 2 = 14,42   m m / s

E o módulo do vetor aceleração é:

a → 2 = 6 2 + 4 2 = 7,21   m m / s 2

Passo 4

Assim, o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x é:

θ x = tg - 1 ⁡ v y v x       →         θ x = tg - 1 ⁡ 12 8

θ x = 56,3 °

Passo 5

E o ângulo que o vetor aceleração faz com o eixo x é:

θ x = tg - 1 ⁡ a y a x       →         θ x = tg - 1 ⁡ 4 6

θ x = 33,7 °

Resposta

v → = 14,42   m m / s         e             θ x = 56,3 °

a → = 7,21   m m / s 2           e             θ x = 33,7 °

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 34, 2/63

Uma partícula que se desloca em movimento bidimensional tem coordenadas em milímetros dadas por x = t 2 - 4 t + 20 e y = 3   s e n   2 t , onde t é o tempo em segundos. Determine os módulos da velocidade v e a aceleração a e o ângulo θ entre estes dois vetores no instante t = 3   s .

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Passo 1

O vetor deslocamento é dado por:

r → = t 2 - 4 t + 20 i ^ + 3 s e n 2 t j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 2 t - 4 i ^ + 6 cos ⁡ 2 t j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 2 i ^ - 12 s e n 2 t j ^

Passo 2

Para t = 3 s , vamos ter que:

v → 3 = 2 ( 3 ) - 4 i ^ + 6 cos ⁡ 2 3 j ^ = 2 i ^ + 5,76 j ^

E:

a → ( 3 ) = 2 i ^ - 12 s e n 2 × 3 j ^ = 2 i ^ + 3,35 j ^

Assim:

v → 3 = 2 2 + 5,76 2 = 6,09   m m / s

E:

a → 3 = 2 2 + 3,35 2 = 3,90   m m / s 2

Passo 3

Assim, o ângulo será:

c o s θ = v → 3 . a → 3 a → 3 . v → 3 = 2 i ^ + 5,76 j ^ . 2 i ^ + 3,35 j ^ 3,90 . 6,09

c o s θ = 4 + 19,30 23,75 = 0,98

Assim:

θ = cos - 1 ⁡ 0,98 = 11,18 °

Observação:

Quando você for calcular o valor de s e n ( 2 t ) , o valor que 2 t estará em radianos. Mas perceba que no final, quando usamos a função c o s - 1 , retornamos um valor em graus. Enfim, são apenas ajustes na calculadora!

Resposta

v → 3 = 6,09   m m / s

a → 3 = 3,90   m m / s 2

θ = 11,18 °

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2013, 34, 2/66

Os movimentos x e y das guias A e B com ranhuras em ângulo reto controlam o movimento curvilíneo do pino P de conexão, que desliza nas duas ranhuras. Por um curto intervalo de tempo, os movimentos são regidos por x = 20 + 1 4 t 2 y = 15 - 1 6 t 3 , onde x e y são em milímetros e t é em segundos. Calcule o módulo da velocidade v → e aceleração a → do pino para t = 2   s . Desenhe a direção da trajetória e indique a sua curvatura para esse instante.

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Passo 1

O vetor deslocamento é dado por:

r → = 20 + 1 4 t 2 i ^ + 15 - 1 6 t 3 j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 1 2 t i ^ - 1 2 t 2 j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 1 2 i ^ - t j ^

Passo 2

Para t = 2   s , vamos ter que a velocidade será de:

v → 2 = 1 2 2 i ^ - 1 2 2 2 j ^ = i ^ - 2 j ^   m m / s

E a aceleração vai ser igual a:

a → 2 = 1 2 i ^ - 2 j ^ = 1 2 i ^ - 2 j ^   m m / s 2

Passo 3

Com isso, podemos calcular o módulo da velocidade:

v → = 1 2 + ( - 2 ) 2 = 2,24   m m / s

E:

a → = 1 2 2 + ( - 2 ) 2 = 2,06   m m / s 2

Passo 4

Então, o nosso desenho vai ficar assim:

Passo 5

Resposta

v → = 2,24   m m / s

a → = 2,06   m m / s 2

D e s e n h o   a c i m a

Exercício Resolvido #6

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 39, 2/70

Se o cano da espingarda mostrada aponta para o ponto A , calcule a distância δ abaixo de A até o ponto B onde a bala incide. A velocidade de saída no disparo da bala é de 600   m / s .

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Passo 1

Basta a gente aplicar a equação:

y = x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ

Passo 2

Pelo triângulo acima, podemos dizer que:

y + δ = x t g θ

Passo 3

Então:

x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ + δ = x t g θ

δ = x t g θ - x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ

δ = 10 1000 2 2 ( 600 2 ) sec 2 ⁡ 20 ° = 15.43 m