Movimento Retilíneo

Teoria Completa

Introdução

Quando se está dirigindo temos a preocupação constante com a velocidade do veículo devido as regras de trânsito, sinalizações e segurança. Um dos instrumentos utilizados para fiscalizar os motoristas é o radar de velocidade:

Esse equipamento é capaz de medir a velocidade dos veículos que passam na via. Mas como esse ele consegue fazer isso? Isso é muito simples quando você sabe o que é a velocidade e como calcular.

É isso que vamos aprender neste tópico: tudo sobre o movimento retilíneo. Vamos lá!

Posição e Deslocamento

Imagine um carro andando em uma estrada... Para localizarmos esse carro vamos usar o que chamamos de posição ( s ) que nada mais é do que a distância do carro até um ponto de referência:

Repare que no primeiro instante de tempo t 0 o nosso carrinho tem uma posição s 0 . Com o passar do tempo, o carro vai estar em outra posição não é mesmo:

A variação da posição do carro conforme o tempo passa nós vamos chamar de deslocamento ∆ s :

∆ s =   s f -   s i

Sempre que analisarmos a posição de qualquer coisa, após escolhermos um ponto de referência, temos que escolher um sentido para ser positivo e outro para ser negativo. Dessa maneira, o deslocamento será positivo se o objeto andar no sentido positivo e será negativo se ele andar no sentido negativo que escolhemos.

Velocidade

Se eu falar para você que ontem eu dirigi a uma velocidade de 150 k m / h , o que isto quer dizer na prática? Para responder esta pergunta temos que entender o conceito de velocidade.

Chamamos de velocidade média o quanto eu percorri com meu carro (meu deslocamento) em um determinado intervalo de tempo:

v m é d =   ∆ s ∆ t

Mas e se eu quiser saber a minha velocidade exatamente em uma posição? Para isso, vamos usar o conceito de velocidade instantânea que é quando ∆ t assume valores beeem pequenos, quase se aproximando de zero (...será que estamos falando de derivada?):

v =   d s d t

Para calcular esta grandeza vamos usar o conceito de derivada que é a inclinação da reta tangente à curva em um instante t . Mas que curva seria esta? É o gráfico da posição em função do tempo:

Ou seja, a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição no tempo e também pode ser representada por:

s ˙ =   d s d t

A velocidade pode ser positiva ou negativa de acordo com o sinal do deslocamento.

Aceleração

Vamos chamar de aceleração média o quanto a velocidade de um corpo variou dentro de um intervalo de tempo:

a m é d =   ∆ v ∆ t

Se quisermos saber a aceleração em um ponto específico, temos que usar o conceito de aceleração instantânea que ocorre quando temos valores de ∆ t tendendo a zero:

a =   d v d t       o u       v ˙ =   d v d t  

A aceleração é positiva se a velocidade estiver aumentando e será negativa se a velocidade estiver diminuindo. Quando a velocidade está diminuindo falamos que o corpo está desacelerando.

Movimento retilíneo

O movimento retilíneo é aquele movimento que se dá em uma direção reta, sem curvas. Este movimento tem uma importante equação diferencial:

v   d v = a   d s

Mas de onde veio esta equação? É só isolarmos o tempo nas equações:

v =   d s d t → d t =   d s v

a =   d v d t → d t =   d v a

Igualando d t , temos:

d s v = d v a   → v   d v = a   d s

Nós vamos usar bastante esta equação, pois ela relaciona velocidade, aceleração e deslocamento.

Gráficos

  • No gráfico da velocidade em função do tempo, temos que a área embaixo da curva vai dar o deslocamento.

Então para calcular o deslocamento, vamos começar pela fórmula da velocidade:

v =   d s d t  

Para integrar isso temos que separar as variáveis de modo que cada lado do sinal de igual fique com um termo diferencial ( d t ou d s ), assim:

d s =   v   d t  

Agora vamos integrar ambos os lados:

∫ s o s f d s =   ∫ t i t f v   d t   →   s f - s i = á r e a   e m b a i x o   d a   c u r v a

  • No gráfico da aceleração em função do tempo, a área embaixo da curva vai nos dar a variação da velocidade.

Isso porque para calcular a aceleração usamos esta equação aqui:

a =   d v d t

Após separarmos os termos diferenciais para cada lado da igualdade, temos que integrar:

d v =   a   d t

∫ v o v f d v =   ∫ t o t f a   d t   →   v f - v i = á r e a   e m b a i x o   d a   c u r v a

Aceleração Constante

Vamos ver alguns casos onde a aceleração é constante, ou seja, a aceleração não muda com o tempo.

  1. Quando você tiver informações sobre velocidade e tempo: nesses casos você pode usar a seguinte equação:
  2. a =   d v d t

    Separando os termos diferenciais para cada lado do sinal de igual, temos que:

    d v =   a   d t

    Em seguida, vamos integrar ambos os lados desta equação em função dos dados que você tem, neste caso a velocidade e o tempo:

    ∫ v o v f d v =   ∫ t o t f a   d t →   v f - v i =   ∫ t o t f a   d t

    Aí é só colocar a equação da aceleração dentro da integral e resolver!

  3. Aceleração em função da velocidade:
  4. Vamos obter a seguinte equação:

    v f -   v o = a ( t f - t 0 )

    Se o tempo inicial for zero, vamos ter:

    v f   = v o + a t

    Você sempre pode usar esta equação em caso de aceleração constante e se você tiver informações sobre a velocidade e sobre o tempo!

  5. Quando forem dadas informações sobre velocidade e deslocamento, temos que partir desta equação:
  6. v   d v = a   d s

    Integrando em função da velocidade e do deslocamento, temos:

    ∫ v o v f v   d v =   ∫ s o s f a   d s

    v 2 2   v 0 v f = a s   s 0 s f

    v f 2 2 - v 0 2 2 = a ( s f - s 0 )

    Multiplicando tudo por 2 :

    v f 2 = v 0 2 + 2 a ( s f - s 0 )

  7. Se você tiver os dados de deslocamento e tempo, temos a seguinte equação:

s = s o + v o t + 1 2 a t 2

Aceleração Não Constante

Quando a aceleração não é constante, temos que integrar a equação da aceleração em função dos dados que o problema deu. Vamos ver alguns casos:

  1. Aceleração em função do tempo: neste caso temos que usar uma equação que tenha tanto a aceleração quanto o termo diferencial d t :
  2. a =   d v d t

    Mas como a aceleração é uma função do tempo:

    ∫ v o v f d v =   ∫ t o t f a ( t )   d t

  3. Aceleração dada como uma função do deslocamento: vamos usar uma equação que tenha aceleração e o termo diferencial d s :

v   d v = a   d s

∫ v o v f v   d v =   ∫ s o s f a ( s )   d s

Então é isso, vamos ver as informações do problema e escolher a equação que relacione os dados que temos!

Vamos entender melhor tudo isso fazendo exercícios! Partiu?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 22, 2/2

A posição de uma partícula é dada por s = 2 t 3 - 40 t 2 + 200 t - 50 , onde s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo para os primeiros 12   segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.

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Passo 1

Bom, como vimos, a derivada da posição pelo tempo é a velocidade:

v t = d s t d t = 6 t 2 - 80 t + 200

E a aceleração é a derivada da velocidade, também pelo tempo (ou segunda derivada da posição):

a t = d v t d t = d 2 s t d t 2 = 12 t - 80

Passo 2

Galera, vamos construir os gráficos aqui. Acho legal começarmos pelo gráfico da aceleração, que é uma reta:

a t = 12 t - 80

Sendo uma reta a gente precisa apenas de dois pontos para traçar o gráfico, vamos fazer então t = 0 e a = 0 . Dessa forma, a gente acha os seguintes pontos:

a = 12 0 - 80

a = - 80

E

0 = 12 t - 80

t = 6,67   s

Então achamos os dois pontos ( t , a ) :

0   ;   - 80   e   ( 6,67   ; 0 )

Assim podemos traçar o gráfico:

Passo 3

Agora vamos fazer o gráfico da velocidade, que é uma parábola:

v t = 6 t 2 - 80 t + 200

Para uma parábola nós precisamos de três pontos para desenhar o gráfico. Sendo assim, vamos encontrar as duas raízes e o ponto onde a função corta o eixo y .

Começando pelo ponto onde a função corta o eixo y vamos ter:

v t = 6 ( 0 ) 2 - 80 ( 0 ) + 200

v = 200

Logo, temos o ponto ( 0   ;   200 ) . Agora partiu para as raízes:

t = 80 ± ( - 80 ) 2 - 4 ( 6 ) ( 200 ) 2 ( 6 )

t = 80 ± 40 1 2

t = 10   s   o u   t = 3,33   s

Portanto, temos os pontos ( 10   ; 0 ) e ( 3,33   ; 0 ) . Então o gráfico da velocidade fica desta forma:

Passo 4

E podemos fazer o gráfico do deslocamento também. Pessoal, esse gráfico já um pouco mais chato e precisa de 4 pontos para ser produzido. Então vou colocar o gráfico aqui e vamos apenas fazer algumas análises:

A primeira derivada (que é a velocidade) nos fornece os máximos e mínimos locais quando se iguala a zero. Dá pra ver pelo gráfico que são os mesmos valores de t :

t 1 = 3,33   s

t 2 = 10   s

Além disso, temos também os pontos de inflexão que são dados pela segunda derivada (que é a aceleração), perceba que o ponto também tem o mesmo valor de t :

t = 6,67   s

Maneiro né!?

Passo 5

O instante em que a velocidade é nula nós já temos, que foi calculado no passo 3 e valem:

t = 10   s   o u   t = 3,33   s

Resposta

s t :

v t :

a t :

E:

t 1 = 10 s   e   t 2 = 3,33 s

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2013, 22, 2/3

A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo s é dada por v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 , onde t é em segundos e v é em metros por segundo. Calcule a posição s , a velocidade v , e a aceleração a quando t = 3   s . A partícula está na posição s 0 = 3   m quando t = 0 .

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Passo 1

Temos que a equação da velocidade é:

v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

Então, quando o tempo for de 3   s , a velocidade da partícula será:

v = 2 - 4 ( 3 ) + 5 ( 3 ) 3 / 2

v = 15,98   m / s

Passo 2

Derivando a equação da velocidade com relação ao tempo vamos obter a equação da aceleração, então:

a = d v d t = - 4 + 15 2 t 1 / 2

Então, no tempo t = 3   s , a aceleração vai ser igual a:

a = - 4 + 15 2 ( 3 ) 1 / 2

a = - 4 + 15 2 3

a = 8,99   m / s 2

Passo 3

Agora vamos calcular a posição, mas para isso temos que lembrar que a derivada da equação da posição com relação ao tempo nos dá a equação da velocidade:

v = d s d t ∴

d s d t = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

Passando o d t para o outro lado do sinal de igual, temos que:

d s = ( 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 ) d t

Agora é só integrarmos de ambos os lados:

∫ s 0 = 3 s d s = ∫ 0 t ( 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 ) d t

s | s 3 = 2 t - 4 2 t 2 + 2 5 5 t 5 / 2 t 0

s | s 3 = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2 t 0

s - 3 = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2

s = 3 + 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2

Então, quando o tempo for de 3   s , a posição da partícula será:

s = 3 + 2 ( 3 ) - 2 ( 3 ) 2 + 2 ( 3 ) 5 / 2

s = 22,2   m

Resposta

s = 22,2   m

v = 15,98   m / s

a = 8,99   m / s 2

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 24, 2/22

Um veículo entra em uma seção de teste de uma estrada reta em s = 0 com uma velocidade de 40   k m / h . Em seguida sofre uma aceleração que varia com o deslocamento como mostrado na figura. Determine a velocidade v do veículo quando este passa pela posição s = 0,2   k m .

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Passo 1

Vamos usar a expressão:

a = v d v d s

v d v = a d s

∫ v 0 v v d v = ∫ s 0 s a d s

v 2 - v 0 2 2 = ∫ s 0 s a d s

Mas perceba que ∫ s 0 s a d s é a área sob a curva, então com essa expressão e calculando a área sob a curva, vamos obter v .

Passo 2

Antes de partirmos para a ação, perceba que v 0 = 40   k m / h . No entanto, é conveniente que trabalhemos em m / s , já que a unidade da aceleração é m / s 2 .

Para converter, é só dividir por 3,6 :

v 0 = 40 3,6 = 11,1   m / s

Vamos calcular a velocidade em s = 2   k m = 2000   m . Para isso, basta a gente calcular a área sob a curva e jogar na fórmula junto de v 0 :

v 2 - 11,1 2 = 2 ∫ s 0 s a d s

Perceba que essa área pode ser dividida em um retângulo até 0,8   k m e um paralelogramo dali para frente:

∫ s 0 s a d s = A 1 + A 2 = 0,8 100 + 1 2 0,8 + 0,4 200 - 100

∫ s 0 s a d s = 80 + 0,6 100 = 80 + 60 = 140

Assim:

v 2 - 11,1 2 = 2 140     →     v 2 = 403 , 21

v = 20 , 0 8   m / s

Multiplicando por 3,6 :

v = 20 , 0 8 3,6 = 72,3   k m / h

Resposta

v = 20 , 0 8   m / s = 72,3   k m / h

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 22, 2/7

A aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo de uma linha reta é dada por a = - k v , onde a é em metros por segundo ao quadrado, k é uma constante, e v é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade como função tanto do tempo t como da posição s . Avalie suas expressões para t = 2   s e em s = 3   m se k = 0,2   m 1 / 2 s - 3 / 2 e as condições iniciais no instante t = 0 são s 0 = 1   m e v 0 = 7   m / s .

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Passo 1

A aceleração é dada por:

a = - k v 1 2

Sendo que:

a = d v d t

Assim:

d v d t = - k v 1 2

d v v 1 2 = - k d t

Passo 2

Depois que fizemos a separação das variáveis, precisamos integrar os dois lados da equação obtida.

Para isso, vamos integrar a equação do tempo de t = 0 até t e a equação da velocidade de v 0 até v (afinal de contas, a velocidade em t = 0 pode ser diferente de 0 ) . Assim:

∫ 0 t - k d t = ∫ v 0 v d v v 1 2

- k t = v 1 2 1 2 v 0 v

- k t = v 1 2 - v 0 1 2 2

v 1 2 = v 0 1 2 - k t 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

v t = v 0 1 2 - k t 2 2

Pelo enunciado, em t = 0 , v = v 0 = 7   m / s .   Além disso, k = 0,2   m 1 2 s - 3 2 :

v t = 7 1 2 - 0,2 t 2 2 = 7 1 2 - 0,1 t 2

Temos que:

v t = 7 1 2 2 - 2 . 0,1 t 7 1 2 + - 0,1 t 2

v t = 7 - 0,2 . 7 1 2 t + 0,01 t 2

v t = 0,01 t 2 - 0,529 t + 7

Passo 3

E a equação da velocidade em função do espaço?

Basta lembrar que:

a = v d v d s

Já que:

a = d v d t

E:

v = d s d t

E:

v d v d s = d s d t d v d s = d v d t = a

Voltando, podemos escrever:

- k v 1 2 = v d v d s

- k d s = v 1 2 d v

Integrando os dois lados:

∫ s 0 s - k d s = ∫ v 0 v v 1 2 d v  

- k s - s 0 = 2 3 v 3 2 - v 0 3 2

v 3 2 = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0

v s = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0 2 3

Pelo enunciado, s 0 = 1 m :

v s = 7 3 2 - 3 2 0,2 s - 1 2 3

v s = v 0 3 2 - 0,3 s - 1 2 3

Passo 4

Agora vamos avaliar o valor da velocidade em t = 2   s e s = 3   s :

v t = 0,01 t 2 - 0,529 t + 7

v 2 = 0,01 2 2 - 0,529 2 + 7 = 5,982 m / s

E:

v s = 7 3 2 - 0,3 3 - 1 2 3 = 6,85 m / s