Movimento Retilíneo
Teoria
Introdução
Quando se está dirigindo temos a preocupação constante com a velocidade do veículo devido as regras de trânsito, sinalizações e segurança. Um dos instrumentos utilizados para fiscalizar os motoristas é o radar de velocidade:
Esse equipamento é capaz de medir a velocidade dos veículos que passam na via. Mas como esse ele consegue fazer isso? Isso é muito simples quando você sabe o que é a velocidade e como calcular.
É isso que vamos aprender neste tópico: tudo sobre o movimento retilíneo. Vamos lá!
Posição e Deslocamento
Imagine um carro andando em uma estrada... Para localizarmos esse carro vamos usar o que chamamos de posição () que nada mais é do que a distância do carro até um ponto de referência:
Repare que no primeiro instante de tempo o nosso carrinho tem uma posição . Com o passar do tempo, o carro vai estar em outra posição não é mesmo:
A variação da posição do carro conforme o tempo passa nós vamos chamar de deslocamento :
Sempre que analisarmos a posição de qualquer coisa, após escolhermos um ponto de referência, temos que escolher um sentido para ser positivo e outro para ser negativo. Dessa maneira, o deslocamento será positivo se o objeto andar no sentido positivo e será negativo se ele andar no sentido negativo que escolhemos.
Velocidade
Se eu falar para você que ontem eu dirigi a uma velocidade de 150 , o que isto quer dizer na prática? Para responder esta pergunta temos que entender o conceito de velocidade.
Chamamos de velocidade média o quanto eu percorri com meu carro (meu deslocamento) em um determinado intervalo de tempo:
Mas e se eu quiser saber a minha velocidade exatamente em uma posição? Para isso, vamos usar o conceito de velocidade instantânea que é quando assume valores beeem pequenos, quase se aproximando de zero (...será que estamos falando de derivada?):
Para calcular esta grandeza vamos usar o conceito de derivada que é a inclinação da reta tangente à curva em um instante . Mas que curva seria esta? É o gráfico da posição em função do tempo:
Ou seja, a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição no tempo e também pode ser representada por:
A velocidade pode ser positiva ou negativa de acordo com o sinal do deslocamento.
Aceleração
Vamos chamar de aceleração média o quanto a velocidade de um corpo variou dentro de um intervalo de tempo:
Se quisermos saber a aceleração em um ponto específico, temos que usar o conceito de aceleração instantânea que ocorre quando temos valores de tendendo a zero:
A aceleração é positiva se a velocidade estiver aumentando e será negativa se a velocidade estiver diminuindo. Quando a velocidade está diminuindo falamos que o corpo está desacelerando.
Movimento retilíneo
O movimento retilíneo é aquele movimento que se dá em uma direção reta, sem curvas. Este movimento tem uma importante equação diferencial:
Mas de onde veio esta equação? É só isolarmos o tempo nas equações:
Igualando , temos:
Nós vamos usar bastante esta equação, pois ela relaciona velocidade, aceleração e deslocamento.
Gráficos
- No gráfico da velocidade em função do tempo, temos que a área embaixo da curva vai dar o deslocamento.
Então para calcular o deslocamento, vamos começar pela fórmula da velocidade:
Para integrar isso temos que separar as variáveis de modo que cada lado do sinal de igual fique com um termo diferencial ( ou ), assim:
Agora vamos integrar ambos os lados:
- No gráfico da aceleração em função do tempo, a área embaixo da curva vai nos dar a variação da velocidade.
Isso porque para calcular a aceleração usamos esta equação aqui:
Após separarmos os termos diferenciais para cada lado da igualdade, temos que integrar:
Aceleração Constante
Vamos ver alguns casos onde a aceleração é constante, ou seja, a aceleração não muda com o tempo.
- Quando você tiver informações sobre velocidade e tempo: nesses casos você pode usar a seguinte equação:
- Aceleração em função da velocidade:
- Quando forem dadas informações sobre velocidade e deslocamento, temos que partir desta equação:
- Se você tiver os dados de deslocamento e tempo, temos a seguinte equação:
Separando os termos diferenciais para cada lado do sinal de igual, temos que:
Em seguida, vamos integrar ambos os lados desta equação em função dos dados que você tem, neste caso a velocidade e o tempo:
Aí é só colocar a equação da aceleração dentro da integral e resolver!
Vamos obter a seguinte equação:
Se o tempo inicial for zero, vamos ter:
Você sempre pode usar esta equação em caso de aceleração constante e se você tiver informações sobre a velocidade e sobre o tempo!
Integrando em função da velocidade e do deslocamento, temos:
Multiplicando tudo por :
Aceleração Não Constante
Quando a aceleração não é constante, temos que integrar a equação da aceleração em função dos dados que o problema deu. Vamos ver alguns casos:
- Aceleração em função do tempo: neste caso temos que usar uma equação que tenha tanto a aceleração quanto o termo diferencial :
- Aceleração dada como uma função do deslocamento: vamos usar uma equação que tenha aceleração e o termo diferencial :
Mas como a aceleração é uma função do tempo:
Então é isso, vamos ver as informações do problema e escolher a equação que relacione os dados que temos!
Vamos entender melhor tudo isso fazendo exercícios! Partiu?
Aceleração
Movimento retilíneo
Gráficos
Aceleração Constante
Aceleração Não Constante
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 22, 2/2
A posição de uma partícula é dada por , onde é em metros e é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo para os primeiros segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.
Passo 1
Bom, como vimos, a derivada da posição pelo tempo é a velocidade:
E a aceleração é a derivada da velocidade, também pelo tempo (ou segunda derivada da posição):
Passo 2
Galera, vamos construir os gráficos aqui. Acho legal começarmos pelo gráfico da aceleração, que é uma reta:
Sendo uma reta a gente precisa apenas de dois pontos para traçar o gráfico, vamos fazer então e . Dessa forma, a gente acha os seguintes pontos:
E
Então achamos os dois pontos :
Assim podemos traçar o gráfico:
Passo 3
Agora vamos fazer o gráfico da velocidade, que é uma parábola:
Para uma parábola nós precisamos de três pontos para desenhar o gráfico. Sendo assim, vamos encontrar as duas raízes e o ponto onde a função corta o eixo .
Começando pelo ponto onde a função corta o eixo vamos ter:
Logo, temos o ponto . Agora partiu para as raízes:
Portanto, temos os pontos e . Então o gráfico da velocidade fica desta forma:
Passo 4
E podemos fazer o gráfico do deslocamento também. Pessoal, esse gráfico já um pouco mais chato e precisa de 4 pontos para ser produzido. Então vou colocar o gráfico aqui e vamos apenas fazer algumas análises:
A primeira derivada (que é a velocidade) nos fornece os máximos e mínimos locais quando se iguala a zero. Dá pra ver pelo gráfico que são os mesmos valores de :
Além disso, temos também os pontos de inflexão que são dados pela segunda derivada (que é a aceleração), perceba que o ponto também tem o mesmo valor de :
Maneiro né!?
Passo 5
O instante em que a velocidade é nula nós já temos, que foi calculado no passo 3 e valem:
Resposta
E:
Exercício Resolvido #2
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2013, 22, 2/3
A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo é dada por , onde é em segundos e é em metros por segundo. Calcule a posição , a velocidade , e a aceleração quando . A partícula está na posição quando .
Passo 1
Temos que a equação da velocidade é:
Então, quando o tempo for de , a velocidade da partícula será:
Passo 2
Derivando a equação da velocidade com relação ao tempo vamos obter a equação da aceleração, então:
Então, no tempo , a aceleração vai ser igual a:
Passo 3
Agora vamos calcular a posição, mas para isso temos que lembrar que a derivada da equação da posição com relação ao tempo nos dá a equação da velocidade:
Passando o para o outro lado do sinal de igual, temos que:
Agora é só integrarmos de ambos os lados:
Então, quando o tempo for de , a posição da partícula será:
Resposta
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 24, 2/22
Um veículo entra em uma seção de teste de uma estrada reta em com uma velocidade de . Em seguida sofre uma aceleração que varia com o deslocamento como mostrado na figura. Determine a velocidade do veículo quando este passa pela posição .
Passo 1
Vamos usar a expressão:
Mas perceba que é a área sob a curva, então com essa expressão e calculando a área sob a curva, vamos obter .
Passo 2
Antes de partirmos para a ação, perceba que . No entanto, é conveniente que trabalhemos em , já que a unidade da aceleração é .
Para converter, é só dividir por
Vamos calcular a velocidade em . Para isso, basta a gente calcular a área sob a curva e jogar na fórmula junto de
Perceba que essa área pode ser dividida em um retângulo até e um paralelogramo dali para frente:
Assim:
Multiplicando por
Resposta
Exercício Resolvido #4
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 22, 2/7
A aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo de uma linha reta é dada por , onde é em metros por segundo ao quadrado, é uma constante, e é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade como função tanto do tempo como da posição . Avalie suas expressões para e em se e as condições iniciais no instante são e .
Passo 1
A aceleração é dada por:
Sendo que:
Assim:
Passo 2
Depois que fizemos a separação das variáveis, precisamos integrar os dois lados da equação obtida.
Para isso, vamos integrar a equação do tempo de até e a equação da velocidade de até (afinal de contas, a velocidade em pode ser diferente de Assim:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Pelo enunciado, em , Além disso,
Temos que:
Passo 3
E a equação da velocidade em função do espaço?
Basta lembrar que:
Já que:
E:
E:
Voltando, podemos escrever:
Integrando os dois lados:
Pelo enunciado,
Passo 4
Agora vamos avaliar o valor da velocidade em e :
E:
Resposta
Exercício Resolvido #5
J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 23, 2/10
Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de na borda de um penhasco com . Calcule a altura para a qual a bola se eleva e o tempo total após a liberação para a bola alcançar o fundo do penhasco. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração para baixo como .
Passo 1
Para descobrir a altura , vamos usar nossa famosa fórmula de Torriceli:
No nosso caso:
E:
Lembrando que primeiro estamos calculando a altura em relação à ponta do penhasco. O nosso eixo aponta para cima, por isso o valor negativo da gravidade (que aponta para baixo).
E velocidade é nula por quê? Porque quando o objeto atinge a altura máxima, a velocidade se anula.
Bom, mãos à obra: